Wenn man das "Rezept" schon kennt, sollte es auch nicht so schwierig sein, eine Begründung dafür zu liefern.
Aus dem "Rezept" kann man ja ablesen: Die vorliegende Zahl x wird auf folgende Weise zerlegt:
x = 10 · u + v , wobei v eine einstellige Zahl ist.
Nun bilde man die neue Zahl t := u - 5 · v .
Nun ist erstens leicht einzusehen, dass der Wert von t kleiner als der von x sein wird.
Weiter wird nun behauptet: Falls t durch 17 teilbar ist, so muss auch die ursprüngliche Zahl x durch 17 teilbar sein. Um dies zu überprüfen, können wir das (ganzzahlige) Ergebnis der Division t ÷ 17 einmal mit s bezeichnen. Also wäre
t = 17 · s
und folglich u = t + 5 · v und weiter:
x = 10 · u + v = 10 · ( t + 5 · v) + v
= 10 · (17 · s + 5 · v) + v = 170 · s + 51 · v
= 17· (10 · s + 3 · v)
und siehe da: es zeigt sich, dass tatsächlich x auch durch 17 teilbar sein muss.
Ein derartiges "Rezept" selber (ohne Hilfe) zu finden, wäre natürlich eine deutlich schwierigere Aufgabe als die, die richtige Funktionsweise des Rezepts nur nachzuweisen.
