Basiswechselmatrix - Diagonalmatrix

Question

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Mir fehlt der Ansatz.. handelt es sich hier um die LR Zerlegung? 

Vielen Dank vorab!

Aufgabe:

Sei A = \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Finden Sie eine Basiswechselmatrix V, so dass V^-1AV eine Diagonalmatrix ist.

Comments

Hallo

du brauchst die Eigenvektoren als Basis, die bilden eine diagonalmatrix.

Gruß lul

Answer 1

Berechne mal erst die Eigenwerte über

det ( A - k*E) = 0

gibt k= -1 als einzige reelle Lösung, also nur

ein reeller Eigenwert und zwei komplexe i und -i

und das homogene Gl.syst.  ( A - (-1)*E ) * x = 0

hat die Lösungen (-t ; 2t ; t )^T  also ein Basisvektor z.B.

( -1 ; 2 ; 1 )^T .

( A - i*E ) * x = 0 gibt entsprechend ( 0 ; 1 +i ; 2 ) und

( A + i*E ) * x = 0 gibt entsprechend ( 0 ; 1 -i ; 2 ).

Also ist die Matrix V =

-1     0        0
2    1+i       1-i
1       2        2.