Basiswechselmatrix und Matrixdarstellung

Question

Aufgabe:

Sei ϕ: R² → R² mit  ϕ \( \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \) =

\( \begin{pmatrix} 1x1 & + 3x2 \\ 3x1 &+1x2 \end{pmatrix} \)

sowie die Basis V = (v1, v2) mit
v1 = \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \), v2 = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)  ∈ R₂
und die kanonische Basis E2 des R₂

a) Geben Sie die Matrixdarstellung A^E2_E2 von ϕ an

b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix B^E2_V und B^V_E2

c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung A_V^V von ϕ

d) Zeigen Sie, dass ϕ bijektiv ist

e)  Geben Sie die Darstellungsmatrix von ϕ⁻¹: R² → R² bezüglich der Basis V an

f) Seien X, Y zwei K-Vektorräume und f : X → Y, g : X → Y zwei lineare Abbildungen sowie
µ ∈ K. Zeigen Sie, dass (f + µg) : X → Y eine lineare Abbildung ist.

Problem/Ansatz:

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

b) B^V_E2 = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) und B_V^E2 = \frac{1}{4} \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

c) Nun komm ich ab c nicht weiter.. Muss ich hier die beiden Basiswechselmatrix und die Matrixdarstellung A^E2_E2 mit einander multiplizieren?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden \(E\) statt \(E2\) für die 2-dimensionale kanonische Einheitsbasis.

zu a) Die Abbildungsmatrix \(A^E_E\) folgt direkt aus der Abbildungsvorschrift:$$\binom{x_1}{x_2}\mapsto\binom{1x_1+3x_2}{3x_1+1x_2}=x_1\binom{1}{3}+x_2\binom{3}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 3\\3 & 1\end{pmatrix}}_{=A^E_E}\cdot\binom{x_1}{x_2}$$

zu b) Die Basiswechselmatrix \(\mathbf{id}^V_E\) von \(V\) nach \(E\) kannst du direkt angeben, weil ja die Komponenten der Basisvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) bezüglich der kanonischen Basis \(E\) angegben sind, denn eine andere Basis ist zum Zeitpunkt der Definition nicht definiert. Damit ist klar:$$\mathbf{id}^V_E=\left(\begin{array}{rr}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\mathbf{id}^E_V=\left(\mathbf{id}^V_E\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-\frac12 & \frac12\\[1ex]\frac12 & \frac12\end{array}\right) $$

zu c) Hier müssen die Vektoren vor der Abbildung \(A^E_E\) von der Basis \(V\) in die Basis \(E\) umgerechnet werden und anschließend wieder in die Basis \(V\) zurückgeführt werden:$$A^V_V=\mathbf{id}^E_V\cdot A^E_E\cdot\mathbf{id}^V_E=\left(\begin{array}{rr}-2 & 0\\0 & 4\end{array}\right) $$

zu d) Die Determinante von \(A^V_V\) ist gleich \((-2)\cdot4=-8\), also von Null verschieden. Daher existiert die inverse Matrix, sodass die Funktion umkehrbar ist. Daher ist sie insbesondere bijektiv.

zu e) Die in (d) beschriebene Inverse ist hier gesucht:$$(A^V_V)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-\frac12 & 0\\[1ex]0 & \frac14\end{array}\right)$$

zu f) Wir nutzen die Rechenregeln für Matrizen.

Sei \(F\) die Abbildungsmatrix zu \(f\) und \(G\) die Abbildungsmatrix zu \(g\).

Seien weiter \(\vec a,\vec b\in X\) und \(c\in K\), dann gilt:$$(F+\mu G)\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)=F\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)+\mu G\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)$$$$\phantom{(F+\mu G)\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)}=F\cdot\vec a+c\cdot F\cdot\vec b+\mu G\cdot\vec a+c\cdot\mu G\cdot\vec b$$$$\phantom{(F+\mu G)\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)}=F\cdot\vec a+\mu G\cdot\vec a+c\cdot F\cdot\vec b+c\cdot\mu G\cdot\vec b$$$$\phantom{(F+\mu G)\cdot(\vec a+c\cdot\vec b)}=(F+\mu G)\cdot\vec a+c\cdot(F+\mu G)\cdot\vec b$$