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Gegeben ist das kubische Polynom

$$ax^3+bx^2+cx+d$$

mit rationalen Koeffizienten.

Wie findet man möglichst effizient alle drei Nullstellen?

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was sollen da die Dollar Zeichen, stell eine Besipiel Aufgabe und dran kann man es besser erklären.---

2 Antworten

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Avatar von 37 k

Die Cardanoschen Formeln kenne ich. Im Wissen um die rationalen Koeffizienten muss es besser gehen. (Außerdem ist der Artikel in Wikipedia oberflächlich und teilweise falsch.)

Ob die Koeffizienten rational oder sogar ganzzahlig sind ist egal.

Betrachte z.B $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

Im Allgemeinen sind die enstehenden Lösungen irrational oder komplex. An der Berechnungsmethode der exakten Lösungen ändert das ja auch nix. Wenn es dir um Effizienz geht und du die Cardano-Formeln nicht handhaben kannst, dann bleiben dir nur Näherungsverfahren.

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Es gibt analog zu den pq-Formeln (quadratische Gleichung)

bei kubischen Gleichungen die PQRST-Formeln:

http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html

Da es explizite Formeln ohne Fallunterscheidung (Cardanische F. hatten noch Fallunterscheidungen)

sind, kann man die Effizienz nicht weiter toppen.

Der Nullstellenrechner unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet beide Algorithmen online mit Zwischenergebnissen vor.

Hinweis: 

Wenn man mehr als 1000 Nachkommastellen berechnen will, ist eine optimierte Newton-Iteration meist schneller als 3. Wurzeln mit komplexen Zahlen zu berechnen.

Weiterer Vorteil: PQRST- (Grad 3) & PQRSTUVW-Formeln (für Grad 4) funktionieren so universell, dass die Faktoren a, b, c d selbst auch komplex sein dürfen.

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Wo sind die Vorteile?

Du hast in Deiner PQRST-Formel einfach die ganz normalen Cardano-Formel in etwas anderer Form geschrieben.

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