Die linke Seite ist $$1^3+2^3+\ldots +n^3$$ Es ist also die Sume von allen Elementen von 1 bis n hoch 3. Mit Hilfe der Summenformel schreiben wir es folgenderweise: $$\sum_{i=1}^ni^3$$
Wir wollen mit Hilfe der vollständigen Induktion die Gleichung $$\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ wobei n∈ℕ beweisen.
Wir haben folgendes:
Induktionsanfang: Für n=1 haben wir dass $$\sum_{i=1}^1i^3=1^3=3 \ \text{ und } \ \frac{1^2(1+1)^2}{4}=\frac{1\cdot 2^2}{4}=\frac{4}{4}=1$$ Die Gleichung gilt also für n=1.
Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass es für n=k gilt, also folgendes $$\sum_{i=1}^ki^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4} \ \ \ \ \ (IB)$$ Induktionsschritt: Wir wollen zeigen dass es auch für n=k+1 gilt, also dass $$\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} $$ Wir haben folgendes:
$$\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\sum_{i=1}^ki^3+(k+1)^3 \ \overset{(IB)}{=} \ \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \\ =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4} \\ =\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \ \ \ \checkmark$$
