0 Daumen
686 Aufrufe

Hallo Community,


Aufgabe:

Man zeige, dass $$ 2* \ln \left( 1 + e ^ { x } \right) - x $$ eine Stammfunktion von $$ \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } $$ ist.


Mein Ansatz war die Funktion $$ f ( x ) = 2 *\ln \left( 1 + e ^ {x }  \right) - x $$ einfach abzuleiten.


$$ f ( x ) = 2* \ln \left( 1 + e ^ {x }  \right) - x $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 *\frac {d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ { x }\right) - x \right] $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac { d} { d x} \left[ \ln \left( 1 + e ^ {x } \right) \right] - \frac { d} { d x} [ x ] $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 * \frac {1} { 1 + e ^ {x } }  *  \frac {d }{ d x} \left[ 1 + e ^ { x }  \right] - 1 $$ $$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac {2 e ^ { x } } { 1 + e ^ { x } } - 1 =\frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1 $$


Mein Problem dabei:

Wie kommt man von $$ \frac {2 e ^ { x } } { e ^ { x } +1} - 1 $$ auf $$ \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } $$ ?


Mit freundlichen Grüßen

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

indem man für 1 = (e^x+1)/(e^x+1) schreibt

= (2e^x)/(e^x +1) - (e^x+1)/(e^x+1)

dann kommt man auf das angegebene Ergebnis.

Avatar von 121 k 🚀

Also so?

$$ \frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x }  + 1} - 1 =\frac {2 e ^ { x }}{ e ^ { x }  + 1} - \frac {e ^ { x }  + 1}{ e ^ { x }  + 1} = \frac {2 e ^ { x }-( e ^ { x }  + 1)}{ e ^ { x }  + 1} = \frac { e ^ { x }-1}{ e ^ { x }  + 1} $$

Also so?

Wobei bist du dir unsicher?

Inzwischen habe ich es verstanden. Ich war mir unsicher darüber ob ich das ex+1 im Zähler in Klammern setzen muss. Ohne kommt man allerdings nicht zum gewünschten Ergebnis.

Vielen Dank für die Hilfe.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community