Logarithmische Gleichung, falsche Vorgehensweise

Question

irgendwie gehe ich bei logaithmischen Gleichungen immer falsch vor, jedenfalls bekomme ich immer das falsche heraus, hier mal zwei Beispiele, worin liegt der Fehler?


1)


log6^{x+2} + log6^x - log6^8 = 0           - log 6^x, + log6^8

log6^{x+2} = log6^8 - log6^x

6^log6^{x+2}= 6 ^log6^8/x

(x+2) = 8/x                                                 *x

x(x+2) = 8

x^2 + 2x = 8                                              : 2x

x = 4


2)


log6^{x+2} - log6^x - log6^8= 0                       + log6^x;         + log6^8

log6^{x+2} = log6^x + log6^8

log6^{x+2} = log6^x/8

6^log6^{x+2} = 6^log6^x/8

x+2= x/8                                   *8

8x + 16= x                                -x        -16

7x = -16                                    : 7

x - 16/7

Answer 1

Hi,

leider weder noch. Ich würde es von vorneherein anders angehen und direkt die Logarithmengesetze anwenden. Wenn Du erlaubst:

log6^x+2 + log6^x - log6⁸ = 0

(x+2)log(6) + xlog(6) - 8log(6) = 0    |log(6)

x+2+x-8 = 0

2x -6 = 0

2x = 6

x = 3

 

Schon ist man fertig^^.

 

Grüße

Comments

danke so ist es ja einfach und leicht verständlich, nur wie würde es denn dann bei folgender gleichung gehen, wenn eine zahl ohne logarithmus steht?

log2^{x+3} + log2^{x-3} = 4

(x+3)log(2) + (x-3)log(2)=4            :log(2)

x+3+x-3=4

2x=4                                                   :2

x=2


So wohl nicht, oder, denn wenn ich durch log2 mache muss ich es rechts doch auch machen, aber  4 steht ja ohne log2?


log2^{x+3} + log2^{x-3} = 4

(x+3)log(2) + (x-3)log(2)=4            :log(2)

x+3+x-3=4/log2

2x=13.28771238                                                   :2

x=6.64385619


Wäre es so richtig?

---

Ja, letzteres ist richtig.

Ich weiß natürlich nicht, wie genau die Aufgabe aufgeschrieben ist, aber eventuell ist log₂ oder lb geschrieben/gemeint? Es sieht verführerisch danach aus. Denn dann kann man schreiben:

4 = 4log₂(2)

Dann kann man das wieder wie oben angehen ;).

 

Das Prinzip scheint aber Verstanden (Variante 2) ;).

Answer 2

Zu 1)

Dein Schritt in Zeile drei ist unklar. Du scheinst beide Seiten der Gleichungen zu exponieren. Aber es ist unklar, zu welcher Basis dein Logarithmus gewählt ist. Anscheinend zur Basis 6.

Normalerweise geht man davon aus, dass \(\log\) die eulersche Zahl \(e \approx 2,71\) zur Basis hat. Aber das ist bei diesem Aufgabentyp gar nicht entscheidend:

Wenn du dir die Gleichung anschaust, siehst du, dass die Variable \(x\) nur im Exponenten vorkommt und überall derselbe Logarithmus (mit dem Argument 6) vorkommt.

Nutze die erstaunliche Eigenschaft des Logarithmus, dass Exponenten des Arguments genauso als Faktoren des Logarithmus geschrieben werden dürfen (folgende Gleichung gilt für alle reellen Zahlen, nicht nur für \(3\) und \(5\)):
\[ \log(5^3) = 3 \cdot \log(5) \]
Dadurch erhältst du den Logarithmus von 6 als Faktor jedes Summanden, durch den du auf beiden Seiten teilen kannst (folgende Gleichung ein ähnlicher Fall):

\( 3\cdot x + 3 \cdot (x+2) + 3 \cdot 8 = 0 \) wird zu \( x+ (x+2) +8=0\).

Bei 2) passiert dasselbe.

Comments

Zur 2) ist noch zu erwähnen, dass diese Gleichung nicht lösbar ist, da \(2 = 8\) beim Vereinfachen herauskommt.

Answer 3

Nutze die Beziehung:

log ( a ^ x ) = x * log ( a )

Damit erhältst du:

 

log6^x+2 + log6^x - log6⁸ = 0

<=> ( x + 2 ) * log ( 6 ) + x * log ( 6 ) - 8 * log ( 6 ) = 0

<=> ( 2 x - 6 ) log ( 6 ) = 0

<=> 2 x - 6 = 0

<=> x = 3

 

Bei der zweite Aufgabe führt die Anwendung obiger Beziehung auf:

- 6 * log ( 6 ) = 0

und das ist zweifellos eine immer falsche Aussage. Die Gleichung hat also keine Lösung.