Maximale Gewinnmenge Fehlersuche

Question

Aufgabe:

Das Unternehmen SauerlandBike bietet unter anderem Fahrradklingeln im
Sauerland-Design an, die von einigen Fahrradtouristen gerne als Urlaubsmitbringsel
gekauft werden. Für diese Klingeln ist die Nachfrage x pro Saison abhängig von
dem Verkaufspreis p und kann durch die Funktion 
x(p)=(100/(p+4))²
beschrieben werden. Die Kosten, die für die Produktion der Menge x anfallen, lassen sich
entsprechend der Kostenfunktion K(x)=20x^0,5 bestimmen.
a) Stellen Sie für die Fahrradklingeln die Gewinnfunktion G (x) auf und
berechnen Sie die Menge x*, bei der der maximale Gewinn erreicht wird.
Gehen Sie davon aus, dass die hergestellte Menge vollständig abgesetzt
werden kann.

Problem/Ansatz:

x(p)=(100/(p+4))²

(100/(p+4))²=x   |√

100/(p+4)=√x    |* (p+4)
100=√x *(p+4)   |/√x
100/√x=(p+4)   |-4
100/√x -4 = p

p(x)=100/√x -4
(100/√x -4)*x = E(x)
(100/√x -4)*x=0
(100*x^-0,5-4)*x=0
100x^0,5-4x=E(x)

G(x)=E(x)-K(x)
G(x)=100x^0,5-4x-20x^0,5
G(x)=80x^0,5-4x

G'(x)=40x^-0,5-4

G'(x)=0
40x^-0,5-4=0  | *√x
40-4√x=0     |²
1600-4x=0
x=40

Lösung sagt aber x=100

Wo ist der Fehler??

Answer 1

a)
x(p) = (100/(p + 4))^2 → p(x) = 100/√x - 4

E(x) = p(x)·x = (100/√x - 4)·x = 100·√x - 4·x

G(x) = E(x) - K(x) = (100·√x - 4·x) - (20·√x) = 80·√x - 4·x
G'(x) = 40/√x - 4 = 0 → x = 100 ME

Comments

40-4√x=0    |²
1600-4x=0

Du hättest die binomischen Formeln beachten müssen. In diesem Fall würde man aber einfach nach x weiter auflösen.

40 = 4√x

10 = √x

100 = x

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Vielen Dank!!!