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Ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe!

Die gerade g steht senkrecht auf der von den Punkten A(4,-2,1), B(2,4,-1), C(-2,2,1) aufgespannten Ebene ubd geht durch den Punkt S(0,0,4). Der Punkt P(-4,y,-10) liegt auf der Geraden g. Berechnen Sie die y-Koordinate!


Zuerst hab ich hier die Ebene aufgestellt:

E: A + q*(B-A) * r (C-A)

Um dann den Normalenvektor zu bestimmen, da die Gerade ja senkrecht auf der Ebene steht:

Kreuzprodukt von AB x AC

n = (12,18,0)  => n = 3*(4/5/0)


Nun stelle ich die Gerade auf und da der Punkt P ja auf der Geraden steht, setze ich diesen gleich:

g: S + t* n = P


Als Gleichungssystem:

0 + 4t = -4

0 + 5t = y

4 + 0t = -10

Normalerweise würde ich nun mit der 1. oder 3. Gleichung t bestimmen und dann in die zweite einsetzen um y zu bestimmen!


Nur hab ich da ja den Widerspruch

4 + 0t = -10

Also 4 = -10


Ich weiß nurnicht wo der Fehler liegt und wäre froh wenn mir jemand helfen kann!

Sorry das ds so lang geworden ist!

von

1 Antwort

+2 Daumen

Ich habe einige Fehler gefunden. Hauptfehler: Du hast dich bei der Berechnung des Normalenvektors komplett verrechnet.

=========

Zuerst hab ich hier die Ebene aufgestellt:

E: A + q*(B-A) * r (C-A)

Bei der Ebenengleichung hast du an einer Stelle ein "*", wo eigentlich ein "+" stehen sollte.

==========

Kreuzprodukt von AB x AC

n = (12,18,0)  => n = 3*(4/5/0)

Der Normalenvektor passt nicht. Richtig wäre: \(\)\[\vec{AB} = \begin{pmatrix}2 - 4 \\ 4 - (-2) \\ -1 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}\] \[\vec{AC} = \begin{pmatrix}-2 - 4 \\ 2 - (-2) \\ 1 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 6 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}\] \[\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} - 2 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} - 6 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 0 - (-2) \cdot 4 \\ (-2)\cdot(-6)-(-2)\cdot 0 \\ (-2)\cdot 4-6\cdot(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 28\end{pmatrix} = 4\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix}\]

Außerdem wäre übrigens: \[\begin{pmatrix}12 \\ 18 \\ 0\end{pmatrix} = 3\cdot \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} \ne 3\cdot \begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} \]

==========

Du benutzt die Gleichung

S + t* n = P

um das Gleichungssystem

0 + 4t = -4
0 + 5t = y
4 + 0t = -10

aufzustellen. Jedoch hast du zuvor

n = (12,18,0)  => n = 3*(4/5/0)

stehen. Das passt so nicht ganz. Denn S + t* n + P liefert dir genau genommen das Gleichungssystem

0 + 12t = -4
0 + 18t = y
4 + 0t = -10

bzw. das Gleichungssystem

0 + 3*4t = -4
0 + 3*5t = y
4 + 3*0t = -10

Oder du verwendest

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)

als Normalenvektor anstatt

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 0 \end{pmatrix}\) bzw. \(\vec{n} = 3\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)

als Normalenvektor. (Wobei du hier natürlich keinen der Vektoren verwenden solltest, da du dich bei der Berechnung verrechnet hast und keiner dieser Vektoren ein Normalenvektor der Ebene ist.)

von 1,2 k

Super vielen Dank!

Bei der Ebenengleichung muss natürlich ein + dahin!

Da war ich wohl zuschnell beim tippen


Mit dem Normalenvektor hab ich mich tatsächlich verrechnet!


Bzw bei der Strecke AC und dadurch dann der Falsche Normalenvektor!

Jetzt weiß ich endlich wo der Fehler liegt!

Wäre alleine nie drauf gekommen dass es am Kopfrechnen scheiterte

Vielen Danke nochmal

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