Stetigkeit unter Topologie

Question

Aufgabe:

Sei f: X → Y und X = Y = ℝ² mit der euklidischen Topologie

Ist f(x₁,x₂) =(  x₁+x₂*sin(x₁),x₂-sin(e^^{x1+x2} ) stetig?

Problem/Ansatz:

Auf Wolfram alpha sieht das ganze nicht stetig aus, aber ich sehe nicht, wie ich es zeigen soll? Da es euklidisch ist, sollte es mit dem delta-epsilon argument zu zeigen sein. Nur ich weiss nicht, wie ich diesen Ball konstruiere, damit es ersichtlich ist
Ich bin froh um Hilfe

Comments

Entschuldigt, ein kleiner Fehler hat sich eingeschlichen:
f(x₁,x₂) =(  x²₁+x₂*sin(x₁),  x³₂-sin(e^{x1+x2} )

Answer 1

Erstmal gilt: Sind $X, \widetilde{Y}$ topologische Räume und $Y := \widetilde{Y}^n$ mit der Produkttopologie versehen, dann ist eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ genau dann stetig, wenn die Komponentenfunktionen $f_i : X \to \widetilde{Y}, x \mapsto (q_i \circ f)(x)$ stetig sind. Dabei ist $q_i : Y \to \widetilde Y$ die i-te Projektion.

Die euklidische Topologie auf $\mathbb{R}^2$ ist glücklicherweise die Produkttopologie auf $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, wobei $\mathbb{R}$ hier ebenfalls die euklidischen Topologie trage.

Das heißt, wenn du zeigen willst, dass $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ stetig ist, reicht es zu zeigen, dass die Komponentenfunktionen

$$f_1 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto x^2+y\sin(x)$$

$$f_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto y^3 -\sin\left(e^{x+y}\right)$$

stetig sind. Und als Summe, Produkt und Komposition von stetigen Funktionen sind sie das.

Comments

Mit welchem Kriterium würdest du das zeigen? Über die Umkehrfunktion einer offenen Menge? Hier sind nur R und die leere Menge offen?
Einen Ball zu konstruieren ohne eine Gleichung fällt mir schwer.

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Mit welchem Kriterium würdest du das zeigen?

"Und als Summe, Produkt und Komposition von stetigen Funktionen sind sie das."

So? :D Oder habt ihr diese Aussagen noch nicht bewiesen? Von Epsilon-Delta und Urbildern würde ich hier die Finger lassen.

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Es geht um Metrik, Normen und Topologie. Zu zeigen, dass das Urbild einer offenen Menge wieder offen ist. Oder halt mit dem Balldingens

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Der obere Teil mit der Produkttopologie ist natürlich nur die stark verallgemeinerte Aussage. Das müsst ihr nicht gezeigt haben. Es reicht wenn ihr wisst, dass

$f : X \rightarrow \mathbb{R}^n, x\mapsto(f_1(x),...,f_n(x))$ stetig $\Leftrightarrow f_1,...,f_n : X \rightarrow \mathbb{R}$ stetig

Auch nichts in diese Richtung? Vielleicht das Folgenkriterium?