Ableitung der Umkehrfunktion
Die Funktion f ist ja nicht so ohne weiteres umkehrbar, da nicht Injektiv.
Also muss sie erst mal so eingeschränkte werden, dass es
Injektiv ist und überhaupt definiert ist; denn ln gibt es ja nur von
positiven Werten. Eine Möglichkeit wäre:
Definitionsbereich von 1 bis 1+√5.
genauer [ 1 ; 1+√5 [ und der Wertebereich
geht dann von - ∞ bis ln(5) genauer ] - ∞ ; ln(5) ]
Dann hat die Umkehrfunktion das als Definitionsbereich ,
ln(4) liegt also darin .
Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt ja f-1 ' (y) = 1 / f ' (x).
Hier ist y= ln(4) also muss gelten ln(4) = f(x)
4 = -x²+2x+4
gibt im gewählten Definitionsbereich x = 2 .
Also f-1 ' (ln(4)) = 1 / f ' (2)
und wegen f ' (x) = ( 2x-2) / (x2 - 2x -4 )
ist f ' (2) =-1/2 also gilt f-1 ' (ln(4)) = - 2 .
