Die Gruppe GL(n,K) ist für n>=2 nicht abelsch.

Question

Aufgabe:

Ich versuche zu zeigen, dass die Gruppe GL(n,K) für jedes n>=2 nicht abelsch ist.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war für zwei Matrizen A,B∈GL(n,K) die Gleichheit A*B=B*A anzunehmen. Nun habe ich ein beliebiges n≥2 fest gewählt, um nun damit versuchen, zu zeigen, dass die Einträge aus A*B mit denen aus B*A übereinstimmen.

$$ A=:(a_{ij})\quad B=:(b_{jk}) $$

Einträge für A*B

$$ c_{ik}:=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk} $$

Einträge für B*A
$$ d_{ik}:=\sum_{j=1}^n b_{ij}\cdot a_{jk} $$

Nun versuche ich mit $$ 0=c_{ik}-d_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}-b_{ij}\cdot a_{jk} $$

einen Widerspruch zu erzeugen. Komme aber ab hier nicht weiter.

Ich hab zwar gefühlt Zehntausend konkrete Beispiele gesehen, wo die Kommutativität verletzt wird, aber das hat mich nicht wirklich weitergebracht.

Answer 1

Bilde ausgehend von der Einheitsmatrix die Matrix A,

indem du die ersten beiden Spalten vertauschst.

Und die Matrix B indem du in der Matrix A in der zweiten

Spalte an der obersten Stelle noch eine 1 hinzufügst.

Dann ist immer A*B verschieden von B*A.