Vektorrechnung, Nachweis das Winkelhalbierende tatsächlich einen halb so großen Winkel hat

Question

Aufgabe: Die Punkte A(0/0), B(12/-9) und C(12/16) bilden ein Dreieck.

a) Stellen Sie Parametergleichungen für die Geraden auf, die durch die Dreiecksseiten sowie durch die Winkelhalbierenden verlaufen

b) Kontrollieren Sie durch eine Rechnung, dass die Winkel zwischen den Winkelhalbierenden und den jeweiligen Geraden entlang der Dreiecksseiten wirklich halb so groß sind.

c) Berechnen Sie jeweils die Länge der drei Winkelhalbierenden

Problem/Ansatz:

Gerade von A zu C: (0 / 0) + s * (12 / 16)

Gerade von A zu B: (0 / 0) + s * (12 / -9)

Winkel alpha daher: cos^-1 = 12 * 12 + 16 * (-9) / 20 * 15 = 0 / 300 = 90°

Winkelhalbierende:

Einheitsvektoren der Richtungsvektoren der obigen Geraden:

(12 / 16) / 20 = ( 0,6 / 0,8 )

(12 / -9) / 15 = ( 0,8 / - 0,6)

Addition der Einheitsvektoren ergibt (1,4 / 0,2)

Gerade der Winkelhalbierenden(0 / 0) + s * (1,4 / 0,2)

Winkel Gerade AC & Winkelhalbierende: cos^-1 = 12*1,4+16*0,2 / 20 * sqrt(2) = 0,70710... = 45°

Also wie ihr seht komme ich soweit klar. Ich kann die Geraden durch die Dreiecksseiten bestimmen und die jeweiligen Winkelhalbierenden über die Einheitsvektoren der Richtungsvektoren der Geraden der Dreiecksseiten bestimmen und dann die jeweiligen Winkel ausrechnen.

Meine Frage ist jetzt:

Wir kennen eigentlich die Formel für die Winkel noch gar nicht =>  alpha = arc cos ( a * b / |a| * |b| )

Lässt sich die Aufgabe lösen, ohne die obige Formel für die Winkel anzuwenden? Da fällt mir nichts ein wie ich das machen könnte, denn so muss das für uns auch lösbar sein, da es Hausaufgabe ist aber die Formel habe ich mir selbst im Internet gesucht

Answer 1

Bestimme den  Winkel α zwischen AC und BC sowie den Winkel β zwischen AC und AD mit D=(1,4 / 0,2) . Vergleiche α und β.

Comments

Das hab ich ja schon gemacht. Winkel alpha liegt aber doch zwischen Strecke AC und AB, der beträgt 90° und die Winkelhalbierende beträgt 45° also genau die Hälfte.

Gerade Strecke BC = (12 / 16) + s * ( 0 / -25)

beta = 0 * 12 + (-25) * (-9) / 375 = 0,6 = 53,13° Grad

Gamma ist damit 36,87° Grad

Aber ich finde keine Möglichkeit, das ganze ohne die Formel zu machen. Oder gibt es da gar keine Alternative?

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Winkel α liegt  zwischen Strecke AC und AB, der beträgt 90°.Das hast du richtig berechnet. Winkel β liegt  zwischen Strecke AC und AD, der beträgt, wenn du richtig rechnest 45°

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Winkel beta liegt doch zwischen Strecke AB und CB?!

Hab das nochmal überprüft, beta kann nicht 45° sein

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Bei mir ist β der Winkel zwischen einem Schenkel von α und der Richtung der von dir richtig bestimmten Geraden.Die Aufgabe lautet (hoffentlich):

b) Kontrollieren Sie durch eine Rechnung, dass der Winkel  β zwischen einer Winkelhalbierenden und den jeweiligen Geraden entlang der Dreiecksseiten wirklich halb so groß ist, wie α.

Nur so macht es Sinn.

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Aber ich finde keine Möglichkeit, das ganze ohne die Formel zu machen. Oder gibt es da gar keine Alternative?

Ihr habt bestimmt schon 'Lineare Funktionen' durchgenommen. Berechne die Winkel \(\varphi\) der Geraden (außer der durch \(BC\)!) gegenüber der Abzizze (X-Achse) mit Hilfe der Steigung \(m\). Wenn man jede Gerade als Graphen einer linearen Funktion interpretiert. Allgemein gilt $$\tan(\varphi) = m$$