Lineare Algebra - Matrizen

Question

Voraussetzung:

Seien n,meN,K ein Körper. Sei A=(aij)eMnxm(K) und sei d=(d1,...,dm)eK^m. Sei x:=(x1,...,xn) ein Variablenvektor. Unser LGS hat dann die Form x*A=d. Des Weiteren sei L:={veK^n | v*A=d} die Lösungsmenge des LGS und MeGLm(K).

Aufgabe:

a) Zeigen Sie für jedes veK^n : Velo genau dann, wenn v*(A*M)=d*M ist.

b) Was passiert bei Multiplikation einer Matrix mit Tausch- und Additionsmatrizen von links?

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen oder die Lösung sagen?

Ein großes Dankeschön schonmal im voraus!

Comments

a) \( \implies \) Sei \( v \in L \), dann gilt ja nach Definition von \( L \) \( vA = d \) und wenn wir diese Gleichung von rechts mit \( M \) durch multiplizieren erhalten wir \( vAM = dM \)

\( \Longleftarrow \) Sei \( vAM = dM \). Wir multiplizieren die Gleichung von rechts mit \( M^{-1} \) durch (das geht, da \( M \in GL_m(K) \)) und erhalten

$$ vAMM^{-1} = dMM^{-1} \implies va=vAI = dI = d $$

(\(I\) bezeichne hier die Einheitsmatrix)

Für b) müsste man eure Definition von Tausch- und Additionsmatrix kennen.

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Vielen Dank für die äußerst hilfreiche Beantwortung von a)!

Zu b): Unsere Definition zu Tauschmatrizen lautet: Tij = I - Eii - Ejj + Eij + Eji ("i-te und j-te Spalte vertauschen", I bezeichnet die Einheitsmatrix, E bezeichnet die Einheitsmatrix)

Unsere Definition zu Additionsmatrizen lautet: Aij (α) = I + α * Eij mit i≠j

Answer 1

Okay, dann handelt es sich wie vermutet um Elementarmatrizen. Dann ist das gar nicht so schwer. Für die Tauschmatrizen berechne mal mit \( T_{13} \):

$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4\\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0  \end{pmatrix} $$

Hier wird also die erste und dritte Spalte getauscht. Wenn du von links multiplizierst:

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3  \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3  \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Hier wird die erste und dritte ZEILE vertauscht. Von Rechts: Spaltentausch, von links: Zeilentausch.

Bei den Additionsmatrizen verhält es sich ähnlich. Von Rechts: Addition von Spalten, von links: Addition von Zeilen.

Überlege dir dazu vielleicht selbst ein kleines Rechenbeispiel.

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Dankeschön für die Antworten! Du hast mir damit sehr geholfen.