Funktion durch vorgegebene Punkte bestimmen

Question

ich habe eine Frage zu ganzrationalen Funktionen.

Wenn der Grad und ein paar Punkte angegeben sind, dann kann man die Punkte ja in die allgemeine Formel einsetzen und die Variablen mithilfe eines Gleichungssystems lösen.

Bei Grad 3 wäre die allg. Funktion: f(x)=a*x³ +b*x² +c*x+d

Frage:

Wie kann man diese allgemeine Formel anhand des Grades bestimmen, also woher kennt man die Exponenten? Und wie würde die Funktion beispielsweise bei dem 4. oder 2. Grad lauten?

Und was hat die Symmetrie damit zu tun?

LG

Answer 1

Hier mal der Reihe noch die Graphen von einer Funktion 2., dann 3. und zum Schluss 4. Grades

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-2)(x+3)/5f₂(x) = 1/2(x-2)(x+3)(x+1)f₃(x) = 1/4(x-2)(x-1)(x+2)·x

Du kannst überall noch Konstanten addieren und / oder die Zahlen in den Klammern so ändern, dass z.B. Nullstellen zusammenfallen:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-2)(x+3)/5+3f₂(x) = 1/2(x-2)(x+3)(x+3)f₃(x) = 1/4(x+2)(x-1)(x+2)·x

Graphen von Polynomen 3. Grades sind immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Graphen von Polynomen 2. Grades sind immer achsensymmetrisch. Achse ist vertikal und geht durch den Scheitelpunkt der Parabel.

Graphen von Polynomen 2. und 4. Grades können zufälligerweise manchmal keine Nullstellen haben. 

Answer 2

Grundsätzlich ist die allgemeine Form einer Funktion n. Grades

f(x) = ∑ (k = 0 bis n) ak * x^k

alle ak sind dabei die Koeffizienten.

Also eine Funktion 7. Grades kann man schreiben:

f(x) = a7·x⁷ + a6·x⁶ + a5·x⁵ + a4·x⁴ + a3·x³ + a2·x² + a1·x + a0

Hat man ein Polynom welches achsensymmetrisch (bezüglich der y-Achse) sein soll, dann hat man nur noch gerade Potenzen von x, also z.B.

f(x) = a6·x⁶ + a4·x⁴ + a2·x² + a0

Hat man ein Polynom welches punktsymmetrisch (bezüglich des Ursprungs) sein soll, dann hat man nur noch ungerade Potenzen von x, also z.B.

f(x) = a7·x⁷ + a5·x⁵ + a3·x³ + a1·x