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Sei f : [0, 1] → [0, 1] stetig auf [0, 1] und differenzierbar auf (0, 1) und es exestiere ein a < 1 , so daß |f '(x)| ≤ a für alle x ∈ (0, 1) gilt. Ferner sei x0 ∈ (0, 1) und xn+1 := f(xn) für alle n ∈ ℕ.

a) Zeigen sie, dass |xn+1 - xn| ≤ an |x1 - x0|

b) Folgern Sie, dass (xn) n ∈ ℕ eine Cauchyfolge ist.

Die a) war noch ganz gut machbar mit Induktion und Mittelwertsatz, nur bei der b) hackt es gerade leider ein wenig und komme mit der Lösung momentan auch nicht weiter. DIe Lösung lautet wie folgt:

$$ |x_{n+k}-x_n|\leq\sum \limits_{i=0}^{k-1}|x_{n+i+1}-x_{n+i}|\leq\sum \limits_{i=0}^{k-1}a^{n+i}=a^n\frac{a^k-1}{a-1}\leq a^n\frac{1}{1-a}=:a_n $$

Sei ε > 0 Sei N so groß, dass ∀ n ≥ N: a< ε

Dann gilt ∀ m,n ≥ N: |xm - xn| ≤ an  < ε


OK erstmal zu folgendem Teil:

$$ \sum \limits_{i=0}^{k-1}|x_{n+i+1}-x_{n+i}| $$

Hier erscheint es mir so, als ob, genau dieselbe Differenz wie xn+k - xn nur als Summe hingeschrieben wurde. Also für mich wäre es dasselbe = anstatt ≤ zu schreiben.

Dann bei der nächsten Abschätzung nach oben mit $$ \sum \limits_{i=0}^{k-1}a^{n+i} $$

Verstehe ich nicht, wieso hierbei einfach |x1 - x0 | wie bei der a) weggelassen werden kann oder ob sich das ganze nun auf die Ableitung bezieht. da diese ja kleiner gleich a ist. Der nächste Teil erscheint mir falsch, da die Formel, wie ich sie für die geo. Reihe kenne folgendermaßen lauten sollte:

$$ \frac {1-a^{k}}{1-a} $$

Die Schlussfolgerung ist mir dann wiederum ganz gut verständlich.

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Hi, es gilt

$$ x_{n+k} - x_n = \sum_{i=0}^{k-1} (x_{n+i+1} - x_{n+i} ) $$ deswegen gilt wegen der Dreiecksungleichung,  geometrischer Reihe und \( a < 1 \)

$$ | x_{n+k} - x_n | \le  \sum_{i=0}^{k-1} | x_{n+i+1} - x_{n+i} | \le a^k | x_1 -x_0 | \frac{1 - a^k }{1 -a} \le a^k \frac{| x_1 -x_0 |}{1 -a} $$

Und jetzt kann man \( N \) so wählen das für \( k > N \) folgt, dass $$ | x_{n+k} - x_n |< \epsilon $$ gilt.

Hinweis: $$ \frac{1 - a^k }{1 -a} =  \frac{a^k - 1 }{a - 1} $$

Avatar von 39 k

OK danke so macht das ganze für mich schon ein wenig mehr Sinn. Du hast jetzt ja |x1 - x0| mitgenommen, während es oben einfach weggelassen wurde. das hat mich etwas verwirrt gehabt. Im prinzip ist der Teil der hinter a steht wahrscheinlich mehr od er weniger irrelevant, da a→ 0?

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Hallo,

die b) ist eigentlich die einfachere Aufgabe, denn ist a) erstmal bewiesen, so ist

\( \lim_{n \rightarrow \infty } | x_{n+1} - x_n | \leq \lim_{n \rightarrow \infty } a^n | x_1 - x_0 | \leq \lim_{n \rightarrow \infty } a^n = 0 \),

weil \( a < 1 \) ist.

Mister

Avatar von 8,9 k

Das reicht aber nicht. Du sollst ja zeigen, dass \( x_n \) eine Cauchyfolge ist.

Was fehlt denn deiner Meinung nach noch?

Les meinen Post, dann siehst Du es.

Es ist \( \lim_{n \rightarrow \infty } | x_{n+1} - x_n | = 0 \) hinreichend (und übrigens auch notwendig) für das Vorliegen einer Cauchy-Folge, was du in deinem Post freundlicherweise nochmal (für einen Spezialfall) dargelegt hast.

danke, so sieht das ganze tatsächlich noch leichter aus. Wäre dies jetzt schon genauso richtig, wie die obere Version?

Bei dem Beweis von Mister sollte aber noch drauf hingewiesen werden, dass hierfür der Satz von Bolzano-Weierstraß gebraucht wird.

Man braucht ausdrücklich nicht den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Falls du meinst, dass man ihn doch braucht, dann bitte ich um die genaue Darstellung, in welcher Hinsicht du annimmst, dass die Aussage ohne ihn nicht auskommt.

Das ist ja Quatsch. Du musst einen Beweis ohne Bolzano-Weierstrass bringen und ich einen mit.

Das ist wirklich Quatsch, denn ich habe Bolzano-Weierstraß hier nicht ins Spiel gebracht.

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