Vektoren Kollinearität Ansätze

Question

Aufgabe:

Ich soll prüfen ob zwei Vektoren kollinear sind....

Die Vektoren sind: v= $\begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix}$ und v=$\begin{pmatrix} 1\\0\\a \end{pmatrix}$

Wie muss a gewählt werden, sodass die beiden Vektoren kollinear sind?

Nun habe ich allerdings mehrere Ansätze mit denen ich auf unterschiedliche Ergebnisse komme....

Ansatz 1: Wenn ich a = 0 wähle, sind die beiden Vektoren ja identisch und somit ebenfalls kollinear

Ansatz 2: Ich würde gerne über den Ansatz gehen, dass ich sage: Der eine Vektor ist ein Vielfaches des anderen Vektors..... also: $\begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix}$ *r = $\begin{pmatrix} 1\\0\\a \end{pmatrix}$...

Dort komme ich für r aber auf das Ergebnis

1. r = 1

2. a*r= 0

3. 0*r = a

Daraus abgeleitet kann ich ja nicht sagen ob sie kollinear sind oder nicht, da mein r nicht einheitlich ist.....

Ansatz 3: Ich schaue ob das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt und wenn dies der Fall ist, sind sie kollinear

v(kreuzprodukt)=$\begin{pmatrix} (a*a)\\-a\\-a \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$

daraus ergibt sich ja ebenfalls dass a=0 sein muss.....

Problem/Ansatz:

Warum ist der mittlere Weg also Ansatz 2 nicht möglich bzw. gibt mir ein komplett anderes Ergebnis?

Gibt es noch andere Möglichkeiten zwei Vektoren mit Unbekannten auf Kollinearität zu prüfen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Dort komme ich für r aber auf das Ergebnis

1. r = 1

2. a*r= 0

3. 0*r = a

Daraus abgeleitet kann ich ja nicht sagen ob sie kollinear sind oder nicht, da mein r nicht einheitlich ist.....

Nur für a=0 hat dein Gleichungssystem eine Lösung, nämlich r=1.

Dann gibt es noch den Ansatz:

x*v + y*w = 0-Vektor gilt mit mindestens einem

x oder y ungleich 0.

Answer 2

Dort komme ich für r aber auf das Ergebnis

1. r = 1

2. a*r= 0

3. 0*r = a

Aus 1. weißt du, dass r=1. Also hast du noch zwei Gleichungen:

a*1=0

0*1=a

Daraus folgt, dass a=0 sein muss für Kollinearität.

Answer 3

Dort komme ich für r aber auf das Ergebnis

1. r = 1

2. a*r= 0

3. 0*r = a

Die letzte Zeile heißt doch 0=a (denn r·0=0).

Kollinearität ergibt sich nur für a=0.