Goniometrische Gleichung. Berechnung des Winkels alpha: cos(α)*50=sin(α)*50+1.5

Question

Ich hab die Rechnung:

cos(α)*50=sin(α)*50+1.5

Wie berechne ich α?

Antwort soll 43.78 sein

Comments

Warum soll alpha positiv sein, wenn die unterste "alternate form" betrachtet wird?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(α)*50%3Dsin(α)*50%2B1.5

Meinst du

Antwort soll 43.78° sein

?

Answer 1

Hallo

1/√2*cos(a)-1/√2sin(a)=1/√2*1,5/50

cos(45)*cos(a)-sin(45)*sin(a)=1/√2*1,5/50

jetzt siehst du hoffentlich das Additionsth.

sonst cos(a)=√(1-sin^2(a))

Gruß lul

Comments

Ich verstehe das leider gar nicht :(

---

Hallo

weisst du wie man cos(a+b) durch die einzelnen Winkel ausdrücken kann? Dieses Additionstheorem hab ich benutzt, und gewusst dass sin(45°)=cos(45°)=1/√2=1/2√2 ist. Was daran verstehst du nicht? dann musst du eben die quadratische Gleichung lösen mit x=sin(a) und cos(a)=√(1-x^2)

Gruß lul

---

Wir haben diese Additionstheoreme nie besprochen..kann man das auch anders lösen? Ich blicke wirklich nicht durch wieso 45 eingesetzt wurde, wo die quadratische Gleichung ist und wie ich 43.78 rausbekomme..

Danke aber für die Antworten!

Answer 2

Dividiere beide Seiten durch 50:

cos(α)=sin(α)+0,03

Subtrahiere sin(α):

cos(α)-sin(α)=0,03

Für cos(α)-sin(α) gibt es eine Formel. Frage das Tabellenwerk deines Vertrauens.

Comments

Habe nachgeschaut, aber keine gefunden..

---

Auch keine für sin(α)-cos(α) ?

---

Nein, nur sin(a)+cos(a)=1

---

Nein, nur sin(a)+cos(a)=1

Das steht dort so sicher nicht.

Da  steht sin²(a)+cos²(a)=1,

was da (ohne Ärger mit Vorzeichen zumindest im Intervall von 0 bis 90 Grad)

umformen kannst zu cos(a) =√(1-sin²(a)).

Löse also die Gleichung

√(1-sin²(a))-sin(α)=0,03

bzw.

√(1-sin²(a))=sin(α)+0,03

---

Pardon das ² fehlt.

---

Ich hab das in Geogebra abgetippt und mir kommt α=6.28*k2+0.65

α=6.28*k2+2.49 

raus, aber kann ja nicht die Lösung sein?

---

Du musst schon sagen, welche Formeln du kennst und verwenden darfst.du hast

cos(a)=sin(a)+0,03 jetzt sin(a)=x, cosa=√(1-x^2)

dann quadrieren , wenn du die anderen Formeln nicht verwenden kannst.

Gruß lul

---

Wenn ich das quadriere kommt:

1-x²-x²+0.0009=0

2x²+1.0009=0

x= 0.707

Stimmt das? Und dann in cos einsetzen?

Answer 3

vereinfacht ergibt sich

COS(alpha)-sin(alpha)=0.03

Ein anderer Weg: quadrieren

cos^2(alpha)+sin^2(alpha)-2cos(alpha)sin(alpha)=9*10^{-4}

Links trig. Pythagoras.

1-2cos(alpha)sin(alpha)=9*10^{-4}

-2cos(alpha)sin(alpha)=9*10^{-4}-1

Doppel Winkel Formel links:

-Sin(2alpha)=9*10^{-4}-1

2alpha=arcsin(-9*10^{-4}+1)

alpha=arcsin(-9*10^{-4}+1)/2=43.78°

(Das Quadrieren ist in diesem Bereich eine Äquivalenzumformung, weil COS(alpha)>sin(alpha) gilt)