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Die Aufgabe:

Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein innerer Punkt P. Weiter seien D der Schnittpunkt
der Parallelen zu AB durch P mit der Geraden BC, E der Schnittpunkt der Parallelen zu BC
durch P mit der Geraden AC und F der Schnittpunkt der Parallelen zu AC durch P mit der
Geraden AB.
Zeigen Sie, dass stets
|AF|/|AB|+|BD|/|BC|+|CE|/|CA| = 1
gilt.

Quelle: Mathematik-Olympiade


Was ich schon habe:

Ich habe mir nun die Dreiecksseiten in jeweils 3 Abschnitte (jeweils begrenzt durch die Paralellen) eingeteilt. Nun sei die Summe der Anteile der ersten Abschnitte an jeweils der entsprechenden Dreiecksseite S1 (also AE/AB+BD/BC+CE/CA), dementsprechend die der zweiten Abschnitte S2 und die der dritten Abschnitte S3.

Somit ist zu zeigen, dass S1=1

Durch die Strahlensätze ergibt sich nun, dass die Summe der Anteile der ersten Abschnitte an der jeweiligen Seite gleich der Summe der der dritten Abschnitte ist:

S1=S3

Außerdem gilt

S1 + S2 + S3=3 
⇔2*S1=3-S2

Es wäre also noch zu zeigen, dass S2=1, dann hätten wir S1=1.


Hier komme ich jedoch nicht weiter; könnte mir bitte jemand helfen; von mir aus auch mit einem anderen Ansatz?

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1 Antwort

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Hallo

 wenn das aus der aktuellen Olympiade ist soll und darf dir kein Forum antworten, das wäre ja Betrug.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Hallo lul,

die Aufgabe ist aus der 55. Mathe-Olympiade, und somit seit fast 3 Jahren nicht mehr aktuell.

Der Aufgaben-Code ist 550943

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