Für welche reellen Werte alpha hat die Matrix die Eigenwerte 1 und -1?

Question

Aufgabe:

Für welche reellen Werte α hat die Matrix

A= \( \begin{pmatrix} 2α+1 & 0 & 2α \\ 0 & -2α & 0 \\ 2α & 0 & 2α+1 \end{pmatrix} \)

die Eigenwerte 1 und -1? Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes gemacht

\( \begin{pmatrix} 2α+1-λ & 0 & 2α \\ 0 & -2α-λ & 0 \\ 2α & 0 & 2α+1-λ \end{pmatrix} \) da durch erhalte ich.

-(λ-1)*(λ+2*a)*(λ-(4*a+1))

daraus ergeben sich dann wiederrum folgede λ.

λ₁=1

λ₂=-2*α

λ₃=4*α+1

nun ist ja der eine Eigenwert nun schon 1 wie von der Aufgabe gefordert ist das damit schon ein teil der Lösung?

Wie es da nun aber dann weiter geht weiß ich nicht. Bisher hatte ich noch nie Die Eigenwerte vorgegeben die heraus kommen sollen. Muss ich einfach λ=1 bzw. -.1 setzen so, dass da steht

λ₁=1=2*α

λ₂=-1=4*α+1

oder ist das totaler unsinn?

Danke für die Hilfe im voraus.

Answer 1

1 hast du doch immer.

Ich würde zur Bestimmung der Werte von Alpha die beiden Fälle

betrachten

λ1= - 1=2*α

λ2=  -1=4*α+1

Comments

ah dann war mein gedanke ja gar nícht so verkehrt das heißt ich nehm einfach die beiden Gleichungen udn löse sie und habe dann mein α

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Hast dann ja gleich 2 Alphas,

das passt auch gut zur Frage:

"Für welche reellen Werte α hat die Matrix..."