0 Daumen
1,7k Aufrufe

Aufgabe:

Die Punkte B(8,6,0) C(2,8,0) und S(4,6,6) liegen vor. Bilden Sie aus diesen Punkten eine Koordinatengleichung und die Achsenabschnittspunkte der Ebene E durch diese genannten Punkten.


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, ein lineares Gleichungssystem mit diesen Punkten auszustellen aber ich kann dieses irgendwie nicht auflösen.

Avatar von

Schau dir jeweils auch die Rubrik "ähnliche Fragen" an Bsp. https://www.mathelounge.de/89729/von-parametergleichung-zu-koordinatengleichung-ebene und kommentiere, falls du eine eigene Idee zu deiner Frage hast.

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

\( \vec{SC} \) =\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \). \( \vec{SB} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \)

Dann ist eine Ebenengleichung in Parameterform \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) . Damit gelingen die Komponentengleichungen. Die Achsenabschnittsform erfordert zuerst ein Durchmultipizieren der Parameterforrm mit einem Normalenvektor, z.B. \( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \). So erhält man die Normalenform und daraus die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform.

Avatar von 123 k 🚀

Ich habe nun die Gleichungen aufgestellt. Wie muss ich diese auflösen?


x=4-2r+4s

y=6+2r

z=6+6r-6s


Sorry bin nicht mehr so begabt im Gleichungen lösen....

Deine Gleichungen sind richtig. aber wir haben beide übersehen, dass sie gar nicht verlangt sind.

Bilden Sie aus diesen Punkten eine Koordinatengleichung und die Achsenabschnittspunkte der Ebene E.

Die Parameterform ⎛⎝⎜xyz⎞⎠⎟ =⎛⎝⎜466⎞⎠⎟ +r·⎛⎝⎜−22−6⎞⎠⎟ +s·⎛⎝⎜40−6⎞⎠⎟  muss mit einem Normalenvektor, z.B. ⎛⎝⎜392⎞⎠⎟ durchmultipliziert werden. So erhält man die Normalenform und daraus die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform. Aus der Achsenabschnittsform liest man die Achsenabschnittspunkte ab.

Was heisst durchmultiplizieren?

Was muss ich nach diesem Verfahren tun, damit ich auf die Normalenform komme?

Könnten Sie für mich eine Musterlösung erstellen?

Multipliziere (skalar) jeden Vektor in der Gleichung

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) mit dem Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \).Da der Normalenvektor auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehtm werden zwei Produkte auf der rechten Seite 0. \( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \) =4·3+6·9+6·2=78 und die Normalenform heißt: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \) =78. Dann ist die Koordinatenform 3x+9y+2z=78 und die Achsenabschnittsform \( \frac{x}{26} \) +\( \frac{y}{8,66} \) +\( \frac{z}{39} \)=1. Die Punkte der Ebene auf den Achsen sind dann (26|0|0),  (0|8,66|0) und (0|0|39).

Herzlichen Dank für diese hilfreiche Antwort. Wie haben Sie diesen Normalenvektor bestimmt?

Eine Möglichkeit ist das Vektorprodukt der Richtungsvektoren:

\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -12\\-36\\-8 \end{pmatrix} \) . Ich habe diesen Vektor noch durch -4 dividiert, um einen kollinearen Vektor mit kleineren Zahlen zu erhalten.

Ah super. Herzlichen Dank :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community