Mathe-Artikel #017: 3 Gründe, weshalb es sinnvoll ist, 0! als 1 zu definieren

Question

0. Einführung

Es gibt viele gute Gründe dafür, $0!$ als $1$ zu definieren. Allgemein gilt $$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$ d. h. z. B. $3!=6$, denn für $n=3$ ergibt sich $$3\cdot 2\cdot 1=6$$ Du lernst nun $3$ Gründe dafür kennen, weshalb $0!$ als $1$ definiert wird, obwohl beim Einsetzen von $0$ in die Formel $0$ herauskommt. Beachte, dass es sich bei den Gründen nicht um mathematische Beweise handelt!

1. Grund: Bildungsgesetz

Wir betrachten die Ergebnisse für $4!$, $3!$, $2!$ und $1!$:

- $4!=24$

- $3!=6$

- $2!=2$

- $1!=1$

Wie kommt man von $4!$ auf $3!$? Du musst $4!$ durch $4$ dividieren. Um von $3!$ auf $2!$ zu kommen, musst du durch $3$ dividieren. Um von $2!$ auf $1!$ zu kommen, musst du durch $2$ dividieren. Erkennst du ein Muster? Die Preisfrage lautet nun: "Durch welche Zahl musst du $1!$ dividieren, um auf $0!$ zu kommen? Richtig, durch die $1$. Du erhältst also: $$0!=1$$

2. Grund: Kombinatorische Überlegung

Auf wie viele Arten kann man $3$ unterscheidbare Objekte (A, B, C) anordnen? Lösungen für kombinatorische Aufgaben dieser Art findet man mit der Fakultätsfunktion. Es gibt insgesamt $3!=3\cdot 2\cdot 1$, also $6$ verschiedene Möglichkeiten, um $3$ unterscheidbare Objekte anzuordnen, nämlich dieser hier:

- ABC

- ACB

- BAC

- BCA

- CAB

- CBA

Allgemein kann man $n$ unterscheidbare Objekte auf $n!$ verschiedene Arten anordnen. Wie sieht es mit einem Objekt aus? Nun, ein Objekt kann man nur auf eine Art anordnen, nämlich so:

- A

Und wie sieht es mit $0$ Objekten aus? Auf wie viele Arten kann man kein Objekt anordnen? Auch hier ist die Antwort offensichtlich: Auf genau eine Art, nämlich so:

-

Demnach ist es sinnvoll, $0!$ als $1$ zu definieren.

3. Grund: Die Eulersche Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion besitzt die Eigenschaft $$\Gamma(n+1)=n!$$ Die Motivation Eulers zur Entwicklung dieser Funktion war es, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente zu erweitern. Die Gammafunktion kann für komplexe Zahlen $z$ mit positivem Realteil durch $$\Gamma(z)=\int\limits_{0}^{\infty}{t^{z-1}\cdot e^{-t}\mathrm{dt}}$$ definiert werden. Für $z=n+1$ folgt: $$\Gamma(n+1)=\int\limits_{0}^{\infty}{t^{(n+1)-1}\cdot e^{-t}\mathrm{dt}}$$ und das entspricht $$\Gamma(n+1)=\int\limits_{0}^{\infty}{t^{n}\cdot e^{-t}\mathrm{dt}}$$ Wenn wir den Wert des uneigentlichen Integrals für $n=0$ berechnen, ergibt sich also

$0!=\int\limits_{0}^{\infty}{t^{0}\cdot e^{-t}\mathrm{dt}}$

$=\int\limits_{0}^{\infty}{1\cdot e^{-t}\mathrm{dt}}$

$=\int\limits_{0}^{\infty}{e^{-t}\mathrm{dt}}$

$=\left[-e^{-t}\right]_0^{\infty}$

$=\lim_{k\rightarrow\infty}{-e^{-k}-(-e^0)}$

$=\lim_{k\rightarrow\infty}{-e^{-k}+1}$

$=0+1$

$=1$

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Comments

Sehr guter Artikel. Hier noch ein vierter Grund. Die (k+1)te Zeile im Pascalschen Dreieck lautet:

$\begin{pmatrix} k\\0\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} k\\1\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} k\\2\ \end{pmatrix}$ . . . $\begin{pmatrix} k\\k-1\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} k\\k\ \end{pmatrix}$

Und weil $\begin{pmatrix} n\\m\ \end{pmatrix}$ = $\frac{n!}{(n-m)!·m!}$ muss für m=0 gelten, dass m!=1 ist.

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Danke für das Lob und die Ergänzung.

Man könnte zusätzlich auch noch über die Betafunktion und die Reihenentwicklung für $e^x$ mit $x=0$ argumentieren. Dann sollte aber per Konvention festgelegt werden, dass $0^0=1$ ist ... sonst geht das schief.

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muss für m=0 gelten, dass m!=1 ist.

Wohl eher 0!=1

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Du solltest lieber die Schlussrichtung kritisieren.

Nicht weil (n über 0) = 1 ist folgt, dass 0! = 1 sein muss, sondern umgekehrt, weil 0! zu 1 definiert wurde folgt, dass die Formel (n über m) = n! / m! / (n-m)! auch für m = 0 gültig bleibt.

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@öl: Und wo ist jetzt der inhaltliche Unterschied zwischen deiner und meiner Formulierung?

@hj2166: wo steht (außer bei dir): "weil (n über 0) = 1 ist folgt, dass 0! = 1 sein muss"? Bei mir jedenfalls nicht.