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Auch wenn das Symbol \(\infty\), das für die Unendlichkeit steht, nichts anderes als eine um 90° gedrehte 8 ist, macht es die Unendlichkeit noch lange nicht zur Zahl. Merke dir ein für allemal: Unendlich ist keine Zahl! Auch die Tatsache, dass dir diese Annahme oftmals mühsame mathematische Argumentationsarbeit ersparen würde, ändert nichts daran und würde zu falschen Ergebnissen führen. Fangen wir doch mal mit einem einfachen Beispiel an. Was würdest du erwarten, wenn du $$\infty+\infty$$ berechnest? \(2\cdot \infty\)? Nein! \(\infty+\infty=\infty\). Warum das so ist, werden wir in einem anderen Video besprechen. Du sollst jetzt erstmal lernen, dass man mit \(\infty\) auf keinen Fall wie mit einer Zahl rechnen sollte. Das führt in Klausuren nur zu vermeidbaren Punktabzügen. Wenn \(\infty+\infty=\infty\), kann man dann $$\infty-\infty=0$$ schreiben? Nein, auf gar keinen Fall! Das ist ein falscher Freund. Es handelt sich hierbei um einen unbestimmten Ausdruck. Davon hast du sicherlich schon einmal gehört, wenn du dich mit der Regel von L'Hospital beschäftigt hast. Weitere solcher unbestimmter Ausdrücke sind:

- \(\frac{\infty}{\infty}\) (Nein, das kürzt sich nicht zu \(1\)),

- \(\infty^0\) (Nein, das ergibt nicht \(1\)),

- \(\infty\cdot 0\) (Nein, das ergibt nicht \(0\); auch \(0\cdot \infty\) ist nicht \(0\)) und

- \(1^{\infty}\) (Nein, das ergibt nicht \(1\), auch wenn diese Überlegung verlockend ist).

Besonders der letzte unbestimmte Ausdruck ist sehr heimtückisch, weil man meint, dass \(1\) unendlich oft mit sich selbst multipliziert doch einfach \(1\) ist. Bedenke aber, dass unendlich keine Zahl ist. Es handelt sich bei \(1^{\infty}\) um einen nicht definierten Ausdruck. Fassen wir also noch einmal zusammen, wovon du in einer Klausur <b>nicht</b> ausgehen darfst:- \(\infty-\infty=0\)- \(\frac{\infty}{\infty}=1\)- \(\infty^0=1\)- \(\infty\cdot 0=0\cdot\infty=0\)- \(1^{\infty}=1\)
Zum Schluss solltest du aber noch erfahren, dass es unbestimmte Ausdrücke nicht nur im Zusammenhang mit der Unendlichkeit gibt. Auch mit der \(0\) lassen sich zwei einfache unbestimmte Ausdrücke formulieren:

- \(0^0\) (das ist weder \(1\), noch \(0\)) und

- \(\frac{0}{0}\) (das kürzt sich weder zu \(1\), noch zu \(0\))


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Sehr wichtiges Video! U. a. vielleicht noch \(\sqrt[0]{x} \quad \text{bzw.} \quad x^{\frac{1}{0}}\)

Hey André,

da ist bei den letzten Zeilen was schief gelaufen? Zumindest die Aufzählung der "don't do's" ist so nicht intuitiv lesbar.


Übrigens: Wenn wir direkt 0·∞ stehen haben, so bin ich durchaus der Meinung, dass wir hier den Wert 0 haben (ignorierend, dass man mit Unendlich nicht rechnet, aber bspw mit 0·a mit a -> ∞). Zumindest aber diskussionswürdig.

Was du wohl meintest ist die Grenzwertbetrachtung?! Wenn der erste Faktor "gegen 0 geht", während der zweite Faktor "gegen Unendlich geht" stimme ich hingegen zu ;).


Grüße

Übrigens: Wenn wir direkt 0·∞ stehen haben, so bin ich durchaus der Meinung, dass wir hier den Wert 0 haben

Das sehe ich ähnlich. Wenn man sich z.B. mit Maß- und Integrationstheorie beschäftigt ist das zumindest eine äußerst sinnvolle Konvention.

Darüber lässt sich tatsächlich streiten. Allerdings sind das üblicherweise "unbestimmte Ausdrücke" (siehe WA). Es kann auch Sinn ergeben, 0^0 per Konvention als 1 zu definieren (siehe mein Kommentar zum Artikel "... 0!=1).

Dann kommen aber wieder Leute darauf zu beweisen, dass 2=1 ist.

Möglich ... aber dadurch kann man z. B. auch über die e-Funktion (bzw. über ihre Reihendarstellung) argumentieren, dass \(0!=1\) ist. Näheres dazu in einem der nächsten Videos.

Die sind unbestimmt, weil es sonst an anderen Stellen zu Problemen kommen könnte. Ganz bekannt ist z. B.:

a=b       mit a,b∈ℝ

a^2=ab

a^2-b^2=ab-b^2

(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b    , da a=b

2b=b

2=1

Wie ich bereits schrieb: Konventionssache.

Während es an einigen Stellen zu Problemen kommt, kann es an anderen sinnvoll sein.



Schöner und sinnvoller Artikel, André - vor allem die Diskussion.

Aber ich würde erwähnen, dass sich bei der Basis dieses Falles \(1^{\infty}\) um einen Grenzwert handeln (muss).

Denn dieser Grenzwert \(\lim\limits_{x\to\infty} 1^x\) ist \(=1\).

Bei dem hier:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$

kommt \(e\) heraus. Hier ist aber die \(1\) in der Basis ein Grenzwert.

So würde ich das schreiben.

Gruß

Smitty

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