Question

Geben Sie die Matrix der Spiegelung an der Achse x=2y an.

Answer 1

Hallo,

ein Richtungsvektor der Fixgerade (Spiegelungsachse) ist $(2,1)$.
Der Vektor $(1,-2)$ steht senkrecht auf diesem. Daher wird die Spiegelung
an der Achse gegeben durch$$\sigma(v)=v-2\frac{<v,(1,-2)>}{<(1,-2),(1,-2)>}(1,-2)$$
wobei $<*,*>$ das Standardskalarprodukt bezeichnet und ich der Bequemlichkeit halber
die Vektoren als Zeilenvektoren schreibe.

Für die beiden Standardbasisvektoren $e_1,e_2$ bekommt man$$\sigma(e_1)=(3/5,4/5)\quad\sigma(e_2)=(4/5,-3/5)$$

So bekommen wir als Darstellungsmatrix der Spiegelung$$\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{array}{cc}3&4\\4&-3\end{array}\right)$$

Gruß ermanus