Uneigentliches Integral von ln(x) / ( 1+x^2) : Konvergenz mit anderen Methoden

Question

Aufgabe:

Uneigentliches Integral von ln(x) / ( 1+x^2) : Konvergenz mit anderen Methoden

 
Problem/Ansatz:

ich soll für dieses Integral Konvergenz zeigen. Ich habe dann zuerst versucht die Stammfunktion zu bilden.Daraufhin habe ich die Funktion im Integralrechner einegeben und die Lösung sah sehr komplex aus. Meine Frage gibt es noch eine andere Möglichkeit die Konvergenz dieses Integrals zu zeigen?

MfG

Ciwan

Answer 1

Ich glaube es relativ schwierig bis unmöglich, das Integral zu lösen. Also würde ich es mit einem Vergleichskriterium versuchen. Da für die gesuchte Funktion

$$f(x)=\frac{ln(x)}{1+x^2}$$ gilt

$$|f(x)|<−ln(x)$$

Kannst Du mit dem Majorantenkriterium für Integrale zeigen, dass das gesuchte Integral konvergiert, da Du das Integral

$$\int_{0}^{1}-ln(x)dx$$

berechnen kannst.

Comments

wie würde das aussehen wenn die obere grenze unendlich ist?