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kann mir jemand folgende Aufgabe erklären?

Bestimme:   ∫xa  dx ; a ∈ ℤ

Also Integral von x^a mit der unteren Grenze 1 und der oberen Grenze + unendlich mit a ∈ ℤ

Und ich soll folgende Fälle untersuchen: a > -1 ; a = 1 ; a < -1 

EDIT: Sorry, ich meinte a = -1 ; ich konnte das dann nur nicht mehr editieren.

Gefragt von

Die Fallunterscheidung ist seltsam,

a > -1 ; a = 1 ; a < -1   

a > -1  schließt  a = 1  mit ein  ??

Sorry, ich meinte a = -1 ; ich konnte das dann nur nicht mehr editieren 

2 Antworten

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∫ x ^a dx
a = 1
Stammfunktion
S ( x ) = x^2 / 2

[ S ( x ) ] zwischen 1 und b
lim b −> ∞ = 1/2 * ( b ^2 - 1^2 ) = ∞

a = -1
∫ x ^(-1) dx
S ( x ) = ln ( x )
[ S ( x ) ] zwischen 1 und b
lim b −> ∞ = ln ( b ) - ln ( 1 ) = ∞ - 0 = ∞

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f(x) := xa ist stetig, also Hauptsatz der Analysis

        Ist F'(x) = f(x) im Intervall [x1, x2] stetig,
        dann ist ∫x1..x2 f(x) dx = F(x2) - F(x1).

anwenden. Für a ≠ -1 und F(x) = 1/(a+1) · xa+1 ist F'(x) = f(x), also

        ∫x1..x2 f(x) dx = 1/(a+1)·x2a+1 - 1/(a+1)·x1a+1 = 1/(a+1)·(x2a+1-x1a+1).

Es ist x1 = 1. Einsetzen liefert

        ∫1..x2 f(x) dx = 1/(a+1)·(x2-1).

Dann zieht man die Definition

        ∫a..∞ f(x) dx = limx2→∞a..x2 f(x) dx

uneigentlicher Integrale zu Rate und bekommt

        ∫1..∞ xa = limx2→∞ 1/(a+1)·(x2a+1-1).

Für a = -1 geht das genau so, allerdings mit anderer Stammfunktion.

Beantwortet von 29 k

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