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Gegeben ist ein Schachbrett dessen Felder wir mit Koordinatenpaaren (i,j) ∈ {1, 2, ... , 8 } × {1, 2, ... , 8} beschreiben. (z. B. bezeichnet (1, 1) das Feld links unten). Die folgenden Relationen setzen zwei Felder zueinander in Beziehung wenn das zweite vom ersten aus mit einem Turn-, Läufer- oder Springerzug erreichbar ist:

Turm:        (a, b) T (c, d) ⇔ (a = c ∨ b = d) ∧ |a - c| + |b - d| > 0.

Springer: (a, b) S (c, d) ⇔ |c - a| |d - b| = 2.

Läufer:     (a, b) L (c, d) ⇔ |c - a| = |d - b| ≠ 0.

a)
Offensichtlich beschreiben die Relationen T o T, S o S, L o L die Erreichbarkeit in jeweils zwei Zügen.
Zu bestimmen sind die drei Mengen der von (1, 1) mit   T o T  ,  S o S  und L o L erreic hbaren Felder. 
 

b)
Welche der Verknüpfungen T o T, S o S, L o L und (L o L)∪L sind Äquivalenzrelationen?
Positive Antworten sind durch Beschreibung der Äquivalenzklassen und negative Antworten durch einen konkreten Nachweis, dass eine Egenschaft verletzt ist, zu begründen.

von

Was ∪ ist, steht hier nicht, ist da die Mengenvereinigung gemeint?

 (L o L)∪L  heisst wohl nicht unbedingt (L o L) oL .

2 Antworten

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aufgabe arest b

Kein Gewähr, dass dies richtig ist, aber hoffe dich bringt das weiter!

 

von
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Achtung: ich habe Läufer und Springer (Rössli) verwechselt. Bis jetzt sind nur Buchstaben korrigiert. Ist aber nicht ganz dasselbe, wie die Aufgabe will 

Sollte jetzt ok sein. Eigentliche Beweise vgl. Antwort von Anonym.

a) 

Zu bestimmen sind die drei Mengen der von (1, 1) mit   T o T   erreichbaren Felder. 

Ganzes Schachbrett. 

Zu bestimmen sind die drei Mengen der von (1, 1) mit   L o L  erreichbaren Felder. 

Alle gleichfarbigen Felder. (Koordinatensumme der Zielpunkte gerade)

Zu bestimmen sind die drei Mengen der von (1, 1) mit  S o S erreichbaren Felder.  (am einfachsten aufzeichnen)

Mit S allein: {(3,2), (2,3)}

mit  SoS {(1,1) , (5,1), (5,3), (4,4) (3,5), (3,1)}

Welche der Verknüpfungen T o TS o SL o L und (L o L)∪L sind Äquivalenzrelationen? 

T o T ist eine Äquivalenzrelation. Es entsteht nur eine Klasse von Elementen, zu der alle Punkte des Bretts gehören. Man kann von jedem Punkt aus in 2 Zügen zu jedem andern Punkt des Bretts gelangen.

 

(L o L) Hier entstehen die beiden Klassen (Farben) noch nicht, da man z.B. von (7/1) nicht  in zwei Zügen nach (8/2) kommt. vgl.  Antwort von Anonym.

 

(L o L)uLHier entstehen durch die Äquivalenzrelation auch 2 Klassen von Elementen. (die Farben)

Will man von einem bel. Punkt aus in 2 Zügen einen gleichfarbigen Punkt erreichen, zeichnet man vom Zielpunkt aus beide Diagonalen ein und schaut, dass man im 1. Zug auf die eine oder die andere kommt. Klappt z.B. gerade neben den Ecken nur in 1 oder 2 Zügen.

In 1 oder zwei Zügen von (1,1) aus erreichbar sind: SoS {(1,1) , (5,1), (5,3), (4,4) (3,5), (3,1)}

Wenn man in (5,1) beginnt, kommt eine ganz andere Punktmenge raus. Die Mengen überschneiden sich teilweise. Es gibt Elemente, die in beiden liegen und ebenso Elemente die nur in der einen oder der anderen liegen.Die bei üblichen Äquivalenzrelationen zu erwartenden Klassen fehlen mE. Somit keine Äquivalenzrelation. - Nur müsste man das mit einem Widerspruch zur Definition von Äquivalenzrelation noch beweisen. Transitivität ist verletzt.

 

von 160 k 🚀


ich bin zwar nicht der Fragensteller, aber versuche dein Beitrag trotzdem nachzuvollziehen.. Kann es sein, dass Du L und S verwechselt hast?

Es ist mir absolut nicht einleuchtend, wieso du mit dem Springer alle Felder einer Farbe erreichst und mit dem Läufer alle, die ich mit dem Springer erwische.. Ich bin verwirrt, hoffe Du kannst mich aufklären

 

  =)
Kennst du die Aufgabe? Ist beim Läufer tatsächlich ein Vereinigungszeichen in der Aufgabenstellung?
Ja da ist tatsächlich ein vereinigungszeichen.

Danke Jayjayjefferson.

(LoL)uL als Vereinigung gibt aber einfach wieder LoL . L allein trägt mE nicht neues zur Menge bei.

 

Achtung: Ich hatte bei L o L einen logischen Fehler drinn. Von (1/7) zu (2/8) kommt ein Läufer nur in einem Zug nicht in 2 Zügen; in 2*2 Zügen sehr wohl. Deshalb ist L o L nicht transitiv.

Alle gleichfarbigen Felder erreicht man auch, wenn man 1 oder 2 Züge machen darf. Deshalb macht das Vereinigungszeichen tatsächlich Sinn.

In der Antwort von Anonym wird mit Transitivität, Reflexivität und Symmetrie (also der Definition) der Äquivalenzbeweis geführt resp. die Nichtäquivalenz belegt.

 

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