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Zeigen Sie, dass R^{n} und die Kugel

$$K_{1}(0) :=\left\{\underline{x} \in \mathbb{R}^{n} |\|\underline{x}\|<1\right\}$$

homöomorph sind.

von

Ist die Norm gegeben oder soll das allgemeiner gezeigt werden?

Allgemeiner...

D.h. für jede beliebige Norm (?)

Ja, davon gehe ich aus. Da mehr nicht gegeben ist als diese Definition.

Definition 2
Zwei metrische Räume (X, dx ) und (Y, dy ) heißen homöomorph, falls ein Homöomorphismus zwischen ihnen existiert, also eine bijektive Abbildung f : X → Y derart, dass f und f^-1 stetig sind.

Kannst du da vielleicht etwas mit arctan und tan basteln?

1 Antwort

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Untersuche die Abbildung

$$ f: K_{\frac{\pi}{2}}(0)\to\mathbb{R}^n, x \mapsto \begin{cases}0,&x=0\\\tan\left(||x||\right)\frac{x}{||x||},&x\neq 0\end{cases}$$

Ist das ein Homöomorphismus zwischen der Kugel mit Radius π/2 und dem IR^n? Wenn ja: wie könntest du diese Abbildung verändern, um den gewünschten Homöomorphismus zu erhalten?

von 6,0 k

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