Beweis das A^TA=0, Matrixmultiplikation

Question

Aufgabe:

Sei A eine reelle mxn  Matrix. Zeigen Sie, dass aus A^TA=0 stets A=0 folgt.

Hinweis: Betrachten sie dazu (A^TA)_ii.

Problem/Ansatz:

Zuerst dachte ich, ich mach ne Fallunterscheidung.

Fall1: $$A=0$$

$$\begin{pmatrix} 0  & 0 & 0& . & . & . & 0 \\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0\\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0 \\ .  & . & . & . & . & . & 0 \\  .  & . & . & . & . & . & 0 \\ .  & . & . & . & . & . & 0 \\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0\end{pmatrix}  ^T \cdot \begin{pmatrix} 0  & 0 & 0& . & . & . & 0 \\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0\\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0 \\ .  & . & . & . & . & . & 0 \\  .  & . & . & . & . & . & 0 \\ .  & . & . & . & . & . & 0 \\ 0  & 0 & 0& . & . & . & 0\end{pmatrix} = 0$$

Fall2: $$ A\neq0$$

$$A^T \cdot A = \begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ji} \cdot a_{ij}  \end{pmatrix}_{1\leq i\leq m} = 0$$

Da versteh ich den Hinweis nich so ganz. Ich soll die Diagonale betrachten ?

Answer 1

ja, du sollst die Hauptdiagonalwerte betrachten. Schreibe die Formel der Hauptdiagonalwerte auf, das sind Summen von Einträgen der Matrix A quadriert, also genau dann gleich 0, wenn alle Summanden =0 sind. Also sind alle Einträge der Matrix 0.

Comments

Verstehe nicht, warum die Diagonale da der Zauberschlüssel ist, die Diagonale kann doch aus 0 bestehen, und der rest sind werte ungleich 0. Warum muss ich die nicht mehr berücksichtigen ?

Wie schreibt man das dann hin:

$$ (A^T \cdot A)_{ii} = \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii} \cdot a_{ii}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}^2 \end{pmatrix} = 0$$

Einzige Lösung $$a_{ii}=0, \forall i\in\left\{ 0,1,...,n\right\} $$

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Ich erhalte für die i,ite Komponente von A^T A

$$(A^T \cdot A)_{ii} =  \sum\limits_{j=1}^{n} a^T_{ij} \cdot a_{ji}  = \sum\limits_{j=1}^{n}  a^2_{ji}=0 $$

Setze nun i=1 , es folgt dann, dass die Summanden a_{11}, a_{12},..., a_{1n} = 0 sind, also die ganze erste Zeile der Matrix. Nimmst du nun auch i=2,3,...,n hinzu, dann ist die gesamte Matrix abgepflastert.