Aufgabe:
Gegeben sei folgender ℝ-Vektorraum Abb(ℝ)={ƒ| ƒ:ℝ→ℝ} zeigen Sie, dass die Abbildungen f(x)= x und g(x)=x^2 linear unabhängig sind.
Problem/Ansatz:
Wie ich die Lineare Unabhängigkeit von Vektoren beweise ist mir klar.
Aber ich weiß nicht wie ich das mit 2 Abbildungen beweisen soll. Wäre sehr dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
wie immer:
Ansatz : Seien a,b aus ℝ mit a*f + b*g = 0-Abbildung.
Dann musst du zeigen a=b=0.
Das sieht man wohl so ein:
Dann gilt für alle x∈ℝ a*x + b*x^2 = 0
also insbesondere für x=1 und x=-1
also a*1+b*1 = 0 und a*(-1) + b*1 = 0
und das Gl.system hat nur die Lösung a=b=0.
Wieso reicht es, zu zeigen, dass das Gleichungssystem für x = 1 und x = -1 die Lösung a = b = 0 hat? Müsste das nicht für alle x gezeigt werden?
wenn es für alle x gilt, gilt es insbesondere für
x=1 und x=-1. Wenn daraus schon a=b=0 folgt,
reicht das doch schon.
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