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Aufgabe:

Es sei K ein Korper, n ∈ ℕ und A,B ∈ K n x n.
Zeigen Sie, dass die Menge der Eigenwerte von A*B gleich der Menge der Eigenwerte
von B*A ist.


Problem/Ansatz:

Hab schon viel Probiert aber weiß leider nicht mehr weiter.

Wenn man ja A * B multipliziert bzw. B * A, dann sehen die Eigenwerte doch anders aus oder nicht?

Hier ist zwar nur zu zeigen das es die selbe Anzahl an Eigenwerten ist, aber auch da wüsste ich leider nicht weiter.

Könnte man das irgendwie übers charakteristische Polynom beweisen?

Avatar von
Zeigen Sie, dass die Menge der Eigenwerte von A*B gleich der Menge der Eigenwerte
von B*A ist.
....
Hier ist zwar nur zu zeigen das es dieselbe Anzahl an Eigenwerten ist ...

Nein, du sollst zeigen dass A*B und B*A die gleichen Eigenwerte haben!

Okay danke, das hatte ich dann falsch verstanden. Hab es jetzt auch nochmal probiert, aber komme leider trotzdem nicht drauf.

Allgemein ist es bei Matrixmultiplikationen ja so, dass A*B nicht das selbe wie B*A ist, bzw. in den meisten Fällen ist ja glaub A*B ≠ B*A.

Die Hauptdiagonale wäre dann doch auch anders und dementsprechend wäre das charakteristische Polynom doch auch anders oder übersehe ich da etwas?

1 Antwort

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Beste Antwort


...wäre das charakteristische Polynom doch auch anders oder übersehe ich da etwas?

die charateristischen Polynome sind gleich.
https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=64803&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

--------------
Der direkte Beweis der in der Aufgabenstellung gegebenen Aussage ist aber wohl einfacher:
Schau mal hier in Aufgabe 3

https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2010w/fk_MA9201_04_exercisesolution.pdf

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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