0 Daumen
445 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge der durch die Gleichung y= ln(cos(x)) definierten Kurve auf dem Intervall (\( \frac{-π}{4} \), \( \frac{π}{4} \) ). Geben Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet an.


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen

Woran scheiterst du?

Die Ableitung ist -tan x

Du brauchst also das Integral von √(1+tan²x), und der Term 1+tan²x lässt sich vorher noch vereinfachen.

Avatar von 53 k 🚀

Ich bräuchte erstmal einen generellen Ansatz bzw. eine Vorgehensweise was ich machen muss. Rechnen kann ich dann selber ;)

+1 Daumen

Die Bogenlänge berechnet sich mit

\(L=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{1+([\ln(\cos(x))]')^2}\, dx = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{\tan^2(x)+1}\, dx= \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{\sec^2(x)}\, dx \approx 1.76\)

Avatar von 13 k
+1 Daumen

$$L=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+y(x)'^2}dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+(-sin(x)/cos(x))^2}dx\\ =\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+tan^2(x)}dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1/cos^2(x)}dx\\ =\int_{-pi/4}^{pi/4}1/cos(x)dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}sec(x)dx=arsinh(tan(x))|_{-pi/4}^{+pi/4}\\ \approx 1.76$$

Avatar von 37 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community