Berechnung der Bogenlänge Vektorgeometrie

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge der durch die Gleichung y= ln(cos(x)) definierten Kurve auf dem Intervall ($\frac{-π}{4}$, $\frac{π}{4}$ ). Geben Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Woran scheiterst du?

Die Ableitung ist -tan x

Du brauchst also das Integral von √(1+tan²x), und der Term 1+tan²x lässt sich vorher noch vereinfachen.

Comments

Ich bräuchte erstmal einen generellen Ansatz bzw. eine Vorgehensweise was ich machen muss. Rechnen kann ich dann selber ;)

Answer 2

Die Bogenlänge berechnet sich mit

$L=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{1+([\ln(\cos(x))]')^2}\, dx = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{\tan^2(x)+1}\, dx= \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{\sec^2(x)}\, dx \approx 1.76$

Answer 3

$$L=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+y(x)'^2}dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+(-sin(x)/cos(x))^2}dx\\ =\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1+tan^2(x)}dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}\sqrt{1/cos^2(x)}dx\\ =\int_{-pi/4}^{pi/4}1/cos(x)dx=\int_{-pi/4}^{pi/4}sec(x)dx=arsinh(tan(x))|_{-pi/4}^{+pi/4}\\ \approx 1.76$$