reeller Vektorraum, Supremumsnorm

Question

Sei B[0,1] := {beschränkte reellwertige Funktionen auf [0,1]}. Zeigen Sie:

a) B[0,1] ist bezüglich der natürlichen Operationen (f + g)(x) := f(x) + g(x), (λf)(x) := λf(x)ein reeller Vektorraum.

b) Durch ||f||∞ := sup x∈[0,1]|f(x)| wird eine Norm auf B[0,1] definiert. Sie heißt die Supremumsnorm.

Ich benötige bei dieser Aufgabe eure Hilfe. irgendwie habe ich keine Ahnung was ich hier machen soll bzw. muss. ich muss allerdings auch ehrlich zugeben und gestehen muss, dass ich das ganze Thema nicht verstanden habe. Vielleicht könnt ihr mir helfen, danke im voraus...

Answer 1

Hallo
a) du musst die Axiome für VR überprüfen, mit f, b  in B liegt auch f+g und r*f in B, die Nullfunktion liegt in B
b) sieh nach wie eine Norm definiert ist
(1) Definitheit:
‖x‖=0 ⇒x=0
(2) absolute Homogenität:
$$‖\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|,$$
(3) Subadditivität oder Dreiecksungleichung:
$$‖\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$$

Gruß lul