Fehlerabschätzung einer Modellfunktion f(x) = a·x·e^(b·x) + c

Question

Aufgabe:

Eine gegebene Kurve soll durch eine Funktion f(x) = a·x·e^(b·x) + c modelliert werden.

Von der gegebenen Kurve waren also 3 Punkte gegeben. Soweit so gut. Ich habe a, b und c exakt als Terme bestimmt und für die Modellierung als gerundete Dezimalzahl angegeben.

Da ich eigentlich immer auf 4 gültige Stellen runde kann die maximale Abweichung ja 0.05% betragen. Also weichen a, b und c um maximal 0.05% von wahren Wert ab.

Wie kann ich damit jetzt eine geschickte Fehlerabschätzung machen. Ich weiß, dass x aus dem Bereich von 0 bis 50 ist

Was ist also der maximale Fehler den ich dann in dem Intervall habe?

Was ich machen kann ist den Fehler an den gegebenen Punkten angeben kann. Was ich nicht kann ist den eben abzuschätzen wie groß der Fehler maximal werden kann.

Wäre hilfreich wenn mir jemand dabei helfen kann.

Answer 1

$$\text{Setze }f(x):=a\cdot x \cdot e^{b\cdot x}+c,\quad \widetilde{f}(x):=\widetilde{a}\cdot x \cdot e^{\widetilde{b}\cdot x}+\widetilde{c}\\a, b, \text{ und } c \text{ sind deine Originalwerte, und } \widetilde{a},\widetilde{b} \text{ und } \widetilde{c} \text{ deine Rundungswerte.}$$

Betrachte nun die Differenz:

$$|f(x)-\widetilde{f}(x)|= |a\cdot x \cdot e^{b\cdot x}+c-\widetilde{a}\cdot x \cdot e^{\widetilde{b}\cdot x}-\widetilde{c}|\\[10pt]=|a\cdot x \cdot e^{b\cdot x}-\widetilde{a}\cdot x \cdot e^{\widetilde{b}\cdot x}+c-\widetilde{c}| \\[10pt] \leq |a\cdot x \cdot e^{b\cdot x}-\widetilde{a}\cdot x \cdot e^{\widetilde{b}\cdot x}|+|c-\widetilde{c}|\\[10pt] \stackrel{x\geq 50}{\leq} 50\cdot |a\cdot e^{50\cdot b}-\widetilde{a}\cdot e^{50\cdot \widetilde{b}}|+5\cdot 10^{-4}$$

EDIT: Mir fällt auf, dass das nur für b≥0 gelten kann.

Kann b bei dir auch negativ sein? Dein kann Fehler hier unter Umständen ,,explodieren''.

Comments

Sowohl a als auch b sind hier negative Werte.