Bestimmen Sie die Fehlerabschätzung (Taylor) = f(x)= 2e^{6-2x}->P3(x,3)=> x0=3

Question

f(x) 2*e^6-2x→P₃(x,3)=>x₀= 3

Bestimmen Sie die Fehlerabschätzung: R_n(x,x₀)= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀τ*(x-x₀)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹

Mein Vorgehen:

f(x)= 2e^6-2x

f'(x)= -4e^6-2x

f''(x)= +8e^6-2x

f'''(x)= -16e^6-2x

Und jetzt?

Jetzt muss ich doch in die Formel für x₀=3 einsetzen?

Answer 1

Hi,

die Funktion \( f(x)=2e^{6-2x} \) soll in eine Taylorreihe bis zur Ordnung 3 entwickelt werden. Die Taylorreihe hat folgendes Aussehen

$$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+f'''(x_0)\frac{(x-x_0)^3}{3!}+f^{(4)}(\xi)\frac{(x-x_0)^4}{4!} $$

Die Ableitungen hast Du ja schon berechnet für beliebiges x, dort muss Du jetzt \( x=x_0=3 \) einsetzten. Z.B. \( f(x_0)=f(3)=2 \) und  \( f'(x_0)=f(3)=-4 \) usw. dann erhältst Du insgesamt
$$f(x)=14-4x+4(x-3)^2-\frac{8(x-3)^3}{3}+R_n  $$ mit

$$ R_n=32e^{6-2\xi}\frac{(x-3)^4}{4!} $$ wobei \( \xi \) zwischen xund 3 liegt.