Umkehrfunktion bei Brüchen mit Wurzeln

Question

Aufgabe:

$$ f(x)=1+ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} $$

Problem/Ansatz: mein erster Schritt den Nenner zu multiplizieren—>

 y* \( \sqrt{x+1} \)=1+\( \sqrt{x} \)

Die Gleichung dann zu quadrieren —>

y^2*(x+1)=1+x

aus multiplizieren das ganze —>

y^2*x + y^2 = 1+x

Die variablen ordnen —>

-1+y^2 = x-y^2*x

Den Ausdruck auf der rechten Seite faktorisieren —>

-1+y^2 = x*(1-y)*(1-y)

Den Ausdruck auf der rechten Seite erweitern —>

-1+y^2 = x*(1-y)^2

Folgend habe ich als Lösung -1+y^2/1-y^2 was sich kürzen lässt und als Ergebnis für y=-1 dabei rauskommt habe da was falsch gemacht weiß aber nicht was genau

Answer 1

(1+√x)^2 = 1+2√x+x (1. binom. Formel!)

Du musst außerdem auch 1 mit der Wurzel multiplizieren, also die komplette rechte Seite.

Comments

Ich bekomme am Ende dann für y die Lösung =

\( \frac{-1x^2}{2-x^2} \)

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+1%2Bx%5E0.5%2F(x%2B1)%5E0.5

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 Wäre dankbar wenn mir jemand bei den folge schritten behilflich wäre :) 

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Um die Wurzeln zeitig loszuwerden, sollte die zweite Zeile gleich in

y-1=... umgeformt werden, bevor du quadrierst.

Du erhältst dann y²-2y+1=x/(x+1)

(x+1)(y²-2y+1)=x

(x+1)(y²-2y+1)-x=0

x(y²-2y)=-y²+2y-1

Answer 2

f ( x ) = 1 + √ x / √ ( x +1 )
y = 1 + √ x / √ ( x +1 )
Umkehrfunktion
x = 1 + √ y  / √ ( y +1 )
x = 1 + √ ( y / ( y +1 ) )
x - 1 = √ ( y / ( y +1 ) ) | quadrieren
( x - 1 ) ^2 = y / ( y +1 ) | Polynomdivison
( x - 1 ) ^2  =  1 - 1/ ( y+1 )
( x - 1 ) ^2  - 1 =  - 1 / ( y+1 )
1 - ( x - 1 ) ^2  =  1 / ( y+1 )
y + 1 = 1 / [ 1 - ( x - 1 ) ^2 ]

y = 1 / [ 1 - ( x - 1 ) ^2 ] - 1

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