Ist y ein Element von Untervektorraum U?

Question

Gegeben sind drei Vektoren im ℝ⁴:

$$x= \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}, \qquad y= \begin{pmatrix} 5\\6\\7\\8 \end{pmatrix}, \qquad z= \begin{pmatrix} 0\\8\\15\\21 \end{pmatrix}$$

x und y bilden einen aufgespannten Untervektorraum U.

Wie untersuche ich nun ob z ein Element von U ist?

Comments

Du musst gucken, ob z als Linearkombination von x und y dargestellt werden kann.

Answer 1

Hallo rivai,

Wie untersuche ich nun ob z ein Element von U ist?

Es müsste zwei Zahlen r und s geben mit   z = r · x + s · y ( ⇔ z ist Linearkombination von x und y) $$r· \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}+s·\begin{pmatrix} 5\\6\\7\\8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\8\\15\\21 \end{pmatrix}$$Das ist nicht der Fall, denn (Z1 und Z2):

r + 5s = 0  und  2r + 6s = 8   →  r = 10  und  s = -2

aber (Z3):    3 · 10 + 7 · (-2) = 16  ≠  15

Gruß Wolfgang