Trigonometrische Gleichung lösen: cos2(x)=sin(x)-1

Question

Aufgabe:

cos²(x)=sin(x)-1

Problem/Ansatz:

ich habe versucht die Gleichung umzuformen cos²(x)=sin(x)-(cos²(x)+sin²(x)) ,aber damit komm ich auch nicht wirklich weiter. Kann jmd. mir vil paar Tipps geben? danke!

Answer 1

Nutze $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ (trig. Pythagoras), wodurch du $1-\sin^2(x)-\sin(x)+1=0$ erhältst.

Danach ließe sich substituieren.

Answer 2

allgemein gilt:

sin²(x) +cos²(x)=1

cos²(x)=1 -sin²(x)

-->eingesetzt:

1-sin²(x)= sin(x)-1

1-sin²(x)- sin(x)+1 =0

-sin²(x)- sin(x)+2 =0 | *(-1)

sin²(x)+ sin(x)-2 =0

Substituiere z= sin(x)

z²+z -2=0 -->pq-Formel

z_1.2= -1/2±√ (1/4 +2)

usw.

Answer 3

Diese spezielle Aufgabe lässt sich sogar allein durch Betrachtung der Wertebereiche lösen.

Die linke Seite nimmt Werte von 0 bis 1 an, die rechte Seite hingegen Werte von -2 bis 0.

Gleichheit ist also nur möglich, wenn linke und rechte Seite jeweils 0 sind.

Das ist nur für x=π/2 + 2kπ möglich.