Lineares Gleichungssystem im R^5 lösen

Question

Ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen, sodass \(\displaystyle x_i\) von den anderen abhängig sind.

\(\displaystyle \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\3\\2\\0\\0 \end{pmatrix}+λ_1\begin{pmatrix} -1\\1\\-1\\0\\1 \end{pmatrix}+λ_2\begin{pmatrix} 2\\-2\\2\\0\\1 \end{pmatrix}+λ_3\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\)

Es ist offensichtlich, dass \(\displaystyle x_4=λ_3\), doch wie mache ich ab da weiter?

Comments

Du kannst die

x_i = f(λ_i) abhängig machen

oder

die λ_i = f(x_i)

Wie sieht denn die Aufgabe konkret aus?

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Es soll die Lösungsmenge von der Linearkombination, rechts von =, gesucht werden. Die Menge habe ich als den Vektor mit den x, links von =, bezeichnet.

Answer 1

Die Lösungsmenge besteht  aus allen Vektoren \( \begin{pmatrix} 1-a+2b+c\\3+a-2b-c\\2-a+2b+c\\c\\a+b+c \end{pmatrix} \) mit a,b,c∈ℝ.

Dann ist insbesondere x₁+x₂=4

                                    x₂+x₃=5

                                   x₁-x₃= - 1

Diese 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten sind linear abhängig voneinander.