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Ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen, sodass xi\displaystyle x_i von den anderen abhängig sind.

(x1x2x3x4x5)=(13200)+λ1(11101)+λ2(22201)+λ3(11111)\displaystyle \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\3\\2\\0\\0 \end{pmatrix}+λ_1\begin{pmatrix} -1\\1\\-1\\0\\1 \end{pmatrix}+λ_2\begin{pmatrix} 2\\-2\\2\\0\\1 \end{pmatrix}+λ_3\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}

Es ist offensichtlich, dass x4=λ3\displaystyle x_4=λ_3, doch wie mache ich ab da weiter?

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Du kannst die

xi = f(λi) abhängig machen

oder

die λi = f(xi)

Wie sieht denn die Aufgabe konkret aus?

Es soll die Lösungsmenge von der Linearkombination, rechts von =, gesucht werden. Die Menge habe ich als den Vektor mit den x, links von =, bezeichnet.

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Die Lösungsmenge besteht  aus allen Vektoren (1a+2b+c3+a2bc2a+2b+cca+b+c) \begin{pmatrix} 1-a+2b+c\\3+a-2b-c\\2-a+2b+c\\c\\a+b+c \end{pmatrix} mit a,b,c∈ℝ.

Dann ist insbesondere x1+x2=4

                                    x2+x3=5

                                   x1-x3= - 1

Diese 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten sind linear abhängig voneinander.

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