Zeigen dass der Kern von φ Teilmenge des Kern (φ^m) ist

Question

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit n= dimV  <∞, und φ:V→Veine lineare Abbildung. Für k∈N sei φ_k:=φ◦. . .◦φ(mit k Faktoren)

Es gibt ein m∈N,m≤n mit Kern(φ)⊂≠Kern(φ²)⊂≠. . .⊂≠Kern(φ^m) = Kern(φ^(m+1)).

Ich hätte das mit vollstänidger Induktion gezeigt.

Die Induktionsvoraussetzung sei durch die obere Aussage gegeben.

m=1: Kern (φ) = Kern(φ¹)=Kern(φ²)

m↦ m+1

Kern (φ)⊂≠Kern(φ2)⊂≠. . .⊂≠Kern(φm) ⊂≠ Kern(φ(m+1))^m+1) = Kern(φ^(m+1+1))

= Kern(φ^(m+1)) ⊂≠  Kern(φ^(m+1)) =  Kern(φ^(m+2))

Damit wäre dann die Aussage gezeigt. Oder wie mache ich das sonst???

Comments

Fang doch mal so an:

Sei v ∈ Kern (φ). Dann ist φ(v) =0

φ²(v)=φ(φ(v))=φ(0) =0 also ist auch v ∈ Kern φ²

Sukzessive folgt so

Kern(φ) ⊆ Kernφ² ⊆...⊆ Kern(φ^m)