Umformen eines Produktes ∏( 1 - 1/i^2) . Index läuft von 2 bis n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden rationalen Zahlen (jeweils Zähler und Nenner des Bruches explizit ausweisen) in Abhängigkeit von n ∈ ℕ \ {0/1}:

$$ A _ { n } = \prod _ { i = 2 } ^ { n } \left( 1 - \frac { 1 } { i ^ { 2 } } \right) $$

Ich weiß nicht, was ich jetzt machen soll.

Answer 1

$$A_n=\prod_{k=2}^n\left(1-\frac1{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n\frac{k^2-1}{k^2}=\prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$$$$A_n=\frac{\prod\limits_{k=2}^n(k-1)\cdot\prod\limits_{k=2}^n(k+1)}{\prod\limits_{k=2}^nk^2}=\frac{(n-1)!\cdot\frac12(n+1)!}{(n!)^2}=\frac{n+1}{2n}.$$

Comments

auf diese lösung bin ich auch soweit gekommen danke =)
aber eine frage, wie kommt man auf diese 1/2 bzw. woher kommt die ?

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Teile Zähler und Nenner durch n.

(1+1/n)/2

Jetzt n gegen unendlich gehen lassen.