0 Daumen
179 Aufrufe

Hey,

ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:

Bild Mathematik

Dies gelte für alle n ∈ ℕ.

Der Induktionsanfang ist klar, ich scheitere nur jedes Mal beim Induktionsschritt mit n + 1.

Bitte um Hilfe :(

von

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Du musst also zeigen, wenn für ein n die Behauptung

   " Produkt für i = 1 bis n über ( 1 +   1 / (n+i)  )   =   2  -    1 / (n+1)   "

stimmt, dann auch

" Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )  =   2  -    1 / (n+1+1)   "

Also fange an mit

Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )

= Produkt für i = 2  bis n+2 über ( 1  +   1 / (n+i)  )  [ Damit man sowas ähnliches wie die Ind.vor. hat]

Und dann erst mal die letzten 2 Faktoren extra schreiben.

= Produkt für i = 2  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )     *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

Und dem   Produkt für i = 2  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )  fehlt der Faktor für n=1 damit man die

Ind.vor. anwenden kann, der ist  1 + 1/(n+1) )= (n+2)/(n+1). Den nehmen wir dazu und dividieren durch ihn,

dann ändert sich nix.

= Produkt für i = 1  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )    / ( (n+2)/(n+1)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

Jetzt die Ind. vor. anwenden

= (  2  -    1 / (n+1) )   / ( (n+2)/(n+1)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

und dann mal was rechnen:

= (  2  -    1 / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

= (  (2n+1) / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( 1  +   1 / (2n+1)  ) *( 1  +   1 / (2n+2)  )

= (  (2n+1) / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( (2n+2) / (2n+1)  ) *( (2n+3)  / (2n+2)  )

alles auf einen Bruchstrich:

= (  (2n+1)   *  (n+1) * (2n+2) * (2n+3)   /   ((n+1) * (n+2)  )   *  (2n+1) * (2n+2)  )

reichlich kürzen

= (    (2n+3)  / (n+2)  )

=  2  -    1 / (n+2)     Und das ist das gewünschte Ergebnis von

" Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )  =   2  -    1 / (n+1+1)   "

q.e.d.

von 153 k

Wenn du das Wort "Teleskopsumme" schon mal gehört hast, dann könntest du dir auch erschließen, was mit einem "Teleskopprodukt" gemeint sein könnte.

Schöne Idee, passt aber wohl nicht zur Aufgabe

"ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:"

Danke für die ausführliche Erklärung, jetzt macht alles Sinn :)

+2 Daumen

Ich hab Dir hier mal meine Lösung, vielleicht ein bisschen leserlicher.

Ml3.pdf (0,2 MB)

von 1,4 k
+1 Punkt

Hi,
der IA ist klar. Dann betrachte
$$ \prod_{i=1}^{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1+i} \right) = \frac{\prod_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{n+i} \right)}{1+\frac{1}{n+1}} \left(1 + \frac{1}{2n+1} \right) \left(1 + \frac{1}{2n+2} \right) = \\ 2 - \frac{1}{n+2}   $$

von 23 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...