Differentiation Elastizität. Kostenfunktion K(x) = (x - 5)^3 + 125 (x > 0)

Question

Aufgabe:

Für die Herstellung eines Produktes werden die Kosten mit der Funktion K(x) = (x - 5)^3 + 125 (x > 0) beschrieben.

(a) Um wie viele Geldeinheiten verändern sich die Kosten, wenn bei einer Produktionsmenge von x = 10 um
eine Einheit erhöht wird? Berechnen Sie sowohl die exakte als auch die näherungsweise Anderung.

(b) Um wie viel Prozent verändern sich die Kosten näherungsweise, wenn die Produktionsmenge, ausgehend
von x = 10, sich um ein Prozent erhöht?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Differentiation Elastizität. Kostenfunktion \( K(x) = (x - 5)^3 + 125 \) (\(x > 0\))

Für die gegebene Kostenfunktion \( K(x) = (x - 5)^3 + 125 \), wollen wir die gefragten Änderungen im Rahmen der angegebenen Szenarien berechnen.

Teil A: Kostenänderung bei Produktionssteigerung

Gegeben ist die Produktionsmenge \( x = 10 \). Zuerst berechnen wir die exakte und näherungsweise Änderung, wenn die Produktion um eine Einheit erhöht wird.

Exakte Änderung:
Um die exakte Änderung zu berechnen, ermitteln wir die Kosten bei \( x = 10 \) und \( x = 11 \), und ermitteln den Unterschied.

1. Berechne \( K(10) = (10 - 5)^3 + 125 \)
2. Berechne \( K(11) = (11 - 5)^3 + 125 \)
3. Berechne die Differenz \( K(11) - K(10) \)

Berechnung:

1. \( K(10) = (10 - 5)^3 + 125 = 5^3 + 125 = 125 + 125 = 250 \)
2. \( K(11) = (11 - 5)^3 + 125 = 6^3 + 125 = 216 + 125 = 341 \)
3. Differenz: \( 341 - 250 = 91 \)

Ergebnis: Die exakte Kostenänderung beträgt 91 Geldeinheiten.

Näherungsweise Änderung:
Für eine näherungsweise Berechnung der Kostenänderung bei einer Produktionserhöhung um eine Einheit nutzen wir die erste Ableitung der Kostenfunktion \( K'(x) \), welche die Kostenänderungsrate darstellt. Also differenzieren wir \( K(x) = (x - 5)^3 + 125 \).

\( K'(x) = 3(x - 5)^2 \)

Berechne \( K'(10) \) für die angenäherte Änderung.

\( K'(10) = 3(10 - 5)^2 = 3(5)^2 = 3 \cdot 25 = 75 \)

Ergebnis: Näherungsweise verändern sich die Kosten um 75 Geldeinheiten.

Teil B: Prozentuale Kostenänderung bei 1% Erhöhung der Produktionsmenge

Um die näherungsweise prozentuale Änderung zu berechnen, wenn die Produktionsmenge ausgehend von \( x = 10 \) um 1% erhöht wird, verwenden wir das Konzept der Kostenelastizität. Die Elastizität \(\epsilon\) bei einem Punkt \( x \) ist definiert als:

\( \epsilon = \frac{K'(x)}{K(x)} \cdot x \)

Da wir bereits \( K(10) = 250 \) und \( K'(10) = 75 \) berechnet haben, setzen wir diese Werte ein und berücksichtigen, dass die Produktionsmenge \( x = 10 \) ist.

\( \epsilon = \frac{75}{250} \cdot 10 = \frac{3}{10} \cdot 10 = 3 \)

Ergebnis: Die Kosten verändern sich näherungsweise um 3%, wenn die Produktionsmenge ausgehend von \( x = 10 \) sich um 1% erhöht.