Gleichung einer Tangente,die eine Ellipse berührt

Question

Aufgabe: Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse ,die den Richtungsvektor g haben und gib die Berührungspunkte an!

Ell: x^2+4y^2=116    , g=(5/-1)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich solche Frage lösen?

Answer 1

Du kannst die Gleichung auch sofort nach \(x\) ableiten:$$x^2+4y^2=116 \\ 2x + 8yy' = 0$$Aus der Vorgabe des Richtungsvektor folgt \(y' = -\frac 15\). Das setzt man in die Ableitung ein$$ 5x - 4y = 0 \implies y = \frac 54 x$$und erhält eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\).

Die gelbe Gerade im Bild ist der Graph von \(5x - 4y = 0\). Das kann man natürlich wieder in die Ellipsengleichung einsetzen$$\begin{aligned} x^2+4\left( \frac 54 x \right)^2=116 \\ \frac {29}4 x^2 = 116 \\ x_{1,2} = \pm4\end{aligned}$$und man erhält das Ergebnis für die Punkte \(P\) und \(Q\). Die Gleichungen für die beiden Tangenten \(t_{1,2}\) (rot) lauten dann$$t_{1,2}: \quad x = -\frac 15(x \mp 4) \pm 5 = -0,2 x \pm 5,8$$

Answer 2

Forme die Gleichung der Ellipse nach y um. Dann hast du zwei Funktionen f₁ und f₂.

Die Steigung der Tangente t_i ist -1/5 (i ∈ {1,2}). Die Tangente hat also die Funktiongleichung

        t_i(x) = -1/5·x + n_i

und du musst noch die n_i bestimmen. Das machst du indem du das Gleichungssystem

        f_i(x) = t_i(x)
        f_i'(x) = t_i'(x)

löst.

Comments

Forme die Gleichung der Ellipse nach y um.

Mach das besser nicht.