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Hallo ich habe diesmal keine Aufgabe in dem Sinne, dass ich sie nicht lösen kann, sondern eher eine Bitte an die Community. Es geht darum, dass ich demnächst als Lehramtstudent die Modul Prüfung in Lineare Algebra 1+2 ablegen muss. In meinem Fall ist das eine 30min mündliche Prüfung. Ich habe hier nun mal ein Paar Themenbereiche hingeschrieben, welche prüfungsrelevant sind. Meine Bitte ist nun die, dass ihr eventuelle Fragen posten könnt, die mein Prof. mir gegebenfalls stellen könnte. 

Themengebiete:

Vektorräume und lineare Abbildungen

  Matrizen, Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen

  Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension

Kern und Bild einer linearen Abbildung

 Determinante, Invertierbarkeit

 Lineare Gleichungssysteme

 Eigenvektoren, Eigenwerte

Charakteristisches Polynom einer Matrix, einer linearen Abbildung

 Diagonalisierbarkeit einer Matrix, einer linearen Abbildung

Fundamentalsatz der Algebra und Eigenwerte komplexer Matrizen

Vektorräume mit Skalarprodukt, euklidische und unitäre Vektorräume

Orthogonalität, Orthonormalbasen, Schmidtsches Orthonormalisierungs- verfahren, Lotraum

Orthogonale Diagonalisierbarkeit

Symmetrische, orthogonale, hermitesche und unitäre Matrizen

Normalformen symmetrischer, hermitesche und unitärer Matrizen, Satz von der Hauptachsentransformation


Ich weiß nur, dass er sich gerne kleine Beweise  erklären lässt. (1-2 Sätze), ebenso lässt er auch nur rechnen, wenn er den Studenten noch durchkommen lassen möchte.  Als ein Beispiel: Er möchte wissen, wie man das charakteristische Polynom berechnet (keine schwere Matrix 2x2) und dann stellt er Fragen zu diesem und welche bedeutet unter anderem Eigenwerte haben.


Ich wäre über jede Frage dankbar, damit ich diese dann für mich selbst nochmal beantworten kann und gegebenenfalls das nochmal nachlesen kann.

von

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Beste Antwort

Ich denke es erklärt sich von selbst, dass du von all diesen Begriffen auf Nachfrage eine Definition angeben kannst. Deshalb lassen wir das jetzt mal weg.

Vektorräume und lineare Abbildungen + Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension

- Welche Dimension hat \( \mathbb{C} \) aufgefasst als  \( \mathbb{Q} \)-VR, \( \mathbb{R} \)-VR und \( \mathbb{C} \)-VR?

- Gibt es einen Vektorraum mit 2, 12, 27  Elementen? Falls ja gib sie an.

- Ist \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},~ x \mapsto x^2 \) eine lineare Abbildung?

- Ist \( f : M(n\times n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}, ~ A \mapsto \textrm{Spur}(A) \) eine lineare Abbildung?

- Existiert eine injektive lineare Abbildung \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)?

- Gegeben sind die Vektoren in \( \mathbb{R}^3 \)$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

sind diese linear unabhängig? Bilden sie ein Erzeugendensystem? Falls ja, wähle 3 Vektoren aus, die eine Basis bilden.

  Matrizen, Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen + Kern und Bild einer linearen Abbildung

- Sei \( f : V \to W \) eine lineare Abbildung. Beweise, dass \( f\) injektiv \( \Leftrightarrow \ker f = \{0\}\)

- Wir betrachten den Vektorraum \( \mathbb{R}[t]_{\le n} \) der Polynome vom Grad höchstens n mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) mit der Basis \( \mathcal{B}_n=(1,t,...,t^n) \). Die Abbildung die einem Polynom seine formelle Ableitung zuordnet

$$  f: \mathbb{R}[t]_{\le 3} \to  \mathbb{R}[t]_{\le 2},~ f \mapsto f' $$

ist offenbar linear. Bestimme die Darstellungsmatrix \( M_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}(f) \) und damit den Kern, sowie das Bild von \( f \). Ist \( f \) injektiv, surjektiv, bijektiv?

Eigenvektoren, Eigenwerte  Charakteristisches Polynom einer Matrix, einer linearen Abbildung

- Sei \( f : V \to V \) eine lineare Abbildung. Beweise \( \ker f = \textrm{Eig}(f,0) \)

- Sei \( f : C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}),~ f\mapsto f' \) die lineare Abbildung (vgl. Analysis) die jeder stetig differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnet. Ist 1 ein Eigenwert von f? Falls ja gib einen dazugehörigen Eigenvektor an.

- Sei \( f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n, ~ x\mapsto Ax \) eine lineare Abbildung mit \( A \in M(n\times n,\mathbb{R}) \). Zeige oder widerlege: Ist \( \lambda \) ein Eigenwert von \( f\), dann ist auch \( \overline{\lambda} \) ein Eigenwert.

- Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}\). Gib die Eigenräume an.

- Gegeben sei die Matrix

$$ A:= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 2 & -7 & -8 \\ -1 & 2 & 3 & 0 & -3 \\ 3 & -7 & 0 & 1 & 4\\ 2 & -8 & -3 & 4 & 10 \end{pmatrix} $$

Beweise oder widerlege: 3-2i ist ein Eigenwert von A.

- Wahr oder falsch? Ist \( f: V \to V \) eine lineare Abbildung mit zwei verschiedenen Eigenwerten \( \lambda_1,\lambda_2 \), dann gilt \( \textrm{Eig}(f,\lambda_1) \cap \textrm{Eig}(f,\lambda_2) = \{ 0 \} \).

- Sei \( f : V  \to V \) eine lineare Abbildung mit \( f^3 = f \). Bestimme alle möglichen Eigenwerte von \( f\).

(Zumindest mal ein Anfang)

von 4,5 k

Und noch ein paar:

Diagonalisierbarkeit einer Matrix, einer linearen Abbildung

- Gib 3 äquivalente Charakterisierungen des Begriffs der Diagonalisierbarkeit an.

- Sind die Matrizen \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 3.5 & -2.5 & 1 \\0 & 2&0\\-0.75 & 1.25& 1.5 \end{pmatrix} \) diagonalisierbar?

- Sei \( A := \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\ -1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \), berechne \( A^5 \).

- Sei  \( \mathbb{Q}[t]_{\le n} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad \( \le n \) mit der Monombasis \((1,...,t^n)\). Entscheide ob die linearen Abbildungen$$ \varphi_1 : \mathbb{Q}[t]_{\le 2} \to \mathbb{Q}[t]_{\le2},~  f\mapsto f(t+1)+f(t)-f(-t)$$$$ \varphi_2 : \mathbb{Q}[t]_{\le 2} \to \mathbb{Q}[t]_{\le2},~  f\mapsto f(0)+f(1)t+(f(1)+f(-1))t^2$$diagonalisierbar sind.

- Es sei \( f : V \to V \) ein Endomorphismus mit \( f^3 - 3f^2 + 2f = 0\). Zeige, dass \( f \) diagonalisierbar ist.

- Gegeben sei die rekursiv definierte Folge \( (a_n) \) mit \( a_0 := 1 \), \( a_1 := 1 \) und \( a_{n+2} := a_{n+1} + a_{n} \) für \( n\ge0 \) (Fibonacci). Finde eine 2x2 Matrix A, s.d. $$ \begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}, \quad\textrm{für } n\ge0 $$ Zeige, dass $$ \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} a_{1}\\a_{0} \end{pmatrix}, \quad\textrm{für } n\ge0 $$ und leite damit eine explizit Bildungsvorschrift der Fibonacci Folge her, d.h. eine Funktion \(f\) mit \( a_n = f(n) \), wobei \( f(n) \) nur von \( n \), aber nicht von \( a_0,...,a_{n-1} \) abhängen darf.

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Bei den bisherigen Fragen sind natürlich auch welche dabei, die für eine mündliche Prüfung schlicht zu rechenintensiv sind. Du solltest diese mit genügend Zeit dennoch lösen können. Falls du Fragen zu den Aufgaben hast oder Kontrollergebnisse möchtest, melde dich einfach.

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