Ich denke es erklärt sich von selbst, dass du von all diesen Begriffen auf Nachfrage eine Definition angeben kannst. Deshalb lassen wir das jetzt mal weg.
Vektorräume und lineare Abbildungen + Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension
- Welche Dimension hat \( \mathbb{C} \) aufgefasst als \( \mathbb{Q} \)-VR, \( \mathbb{R} \)-VR und \( \mathbb{C} \)-VR?
- Gibt es einen Vektorraum mit 2, 12, 27 Elementen? Falls ja gib sie an.
- Ist \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},~ x \mapsto x^2 \) eine lineare Abbildung?
- Ist \( f : M(n\times n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}, ~ A \mapsto \textrm{Spur}(A) \) eine lineare Abbildung?
- Existiert eine injektive lineare Abbildung \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)?
- Gegeben sind die Vektoren in \( \mathbb{R}^3 \)$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$
sind diese linear unabhängig? Bilden sie ein Erzeugendensystem? Falls ja, wähle 3 Vektoren aus, die eine Basis bilden.
Matrizen, Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen + Kern und Bild einer linearen Abbildung
- Sei \( f : V \to W \) eine lineare Abbildung. Beweise, dass \( f\) injektiv \( \Leftrightarrow \ker f = \{0\}\)
- Wir betrachten den Vektorraum \( \mathbb{R}[t]_{\le n} \) der Polynome vom Grad höchstens n mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) mit der Basis \( \mathcal{B}_n=(1,t,...,t^n) \). Die Abbildung die einem Polynom seine formelle Ableitung zuordnet
$$ f: \mathbb{R}[t]_{\le 3} \to \mathbb{R}[t]_{\le 2},~ f \mapsto f' $$
ist offenbar linear. Bestimme die Darstellungsmatrix \( M_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}(f) \) und damit den Kern, sowie das Bild von \( f \). Ist \( f \) injektiv, surjektiv, bijektiv?
Eigenvektoren, Eigenwerte Charakteristisches Polynom einer Matrix, einer linearen Abbildung
- Sei \( f : V \to V \) eine lineare Abbildung. Beweise \( \ker f = \textrm{Eig}(f,0) \)
- Sei \( f : C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}),~ f\mapsto f' \) die lineare Abbildung (vgl. Analysis) die jeder stetig differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnet. Ist 1 ein Eigenwert von f? Falls ja gib einen dazugehörigen Eigenvektor an.
- Sei \( f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n, ~ x\mapsto Ax \) eine lineare Abbildung mit \( A \in M(n\times n,\mathbb{R}) \). Zeige oder widerlege: Ist \( \lambda \) ein Eigenwert von \( f\), dann ist auch \( \overline{\lambda} \) ein Eigenwert.
- Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}\). Gib die Eigenräume an.
- Gegeben sei die Matrix
$$ A:= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 2 & -7 & -8 \\ -1 & 2 & 3 & 0 & -3 \\ 3 & -7 & 0 & 1 & 4\\ 2 & -8 & -3 & 4 & 10 \end{pmatrix} $$
Beweise oder widerlege: 3-2i ist ein Eigenwert von A.
- Wahr oder falsch? Ist \( f: V \to V \) eine lineare Abbildung mit zwei verschiedenen Eigenwerten \( \lambda_1,\lambda_2 \), dann gilt \( \textrm{Eig}(f,\lambda_1) \cap \textrm{Eig}(f,\lambda_2) = \{ 0 \} \).
- Sei \( f : V \to V \) eine lineare Abbildung mit \( f^3 = f \). Bestimme alle möglichen Eigenwerte von \( f\).
(Zumindest mal ein Anfang)
