Zeigen sie, dass aus abgeschlossener/ offener Intervalle

Question

Aufgabe: Zeigen sie, dass

(a) aus einer Familie abgeschlossener Intervalle, die ein abgeschlossenes beschränktes Intervall überdeckt, nicht immer eine endliche Teilfamilie gewählt werden kann, die das Intervall überdeckt;

 (b) aus einer Familie offener Intervalle, die ein offenes beschränktes Intervall überdeckt, nicht immer eine endliche Teilfamilie gewählt werden kann, die das Intervall überdeckt.

Answer 1

Gegenbeispiele:

a)

$$ [0,1] = [0,0] \cup \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left[ \frac{1}{n+1}, 1\right] $$

b)

$$ (0,1) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left( \frac{1}{n+1}, 1\right) $$