0 Daumen
872 Aufrufe

Aufgabe:

Von einer normal verteilten Population von Menschen kennt man die durchschnittliche Körpergrösse; sie beträgt 170 cm. Ferner weiss man, dass 80% dieser Menschen zwischen 160 cm und 180 cm gross sind. a) Bestimmen Sie die Parameter μ und σ dieser Normalverteilung.


Problem/Ansatz:

μ=170, mittels Standardisierung kann ich diese Gleichung aufstellen:

 Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8

Von hier komme ich aber nicht weiter, ich wollte nun Φ(0.8) nachschauen und dann nach σ auflösen, aber das ist falsch.

Avatar von

Vielleicht so:
Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8
Φ(-10/σ)=0.1
10/σ=1.28155
σ=7.803.

Hi, also deine Lösung stimmt jedenfalls, ich verstehe es aber irgendwie trotzdem noch nicht. Wie kommst du beim ersten Schritt auf 0.1? und wieso fällt Φ(10/σ) weg?

Allgemein gilt Φ(-x)=1-Φ(x).

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Der Symmetrie halber, gilt  Φ(z)=1Φ(z)\colorbox{#FCC}{ $ \Phi(-z)=1-\Phi(z) $}. Du kannst also vereinfachen:

Φ(10σ)+Φ(10σ)1=0.8\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1=0.82Φ(10σ)=1.82\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=1.8Φ(10σ)=0.9Φ1(...)\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=0.9 \quad |\Phi^{-1}(...)10σ=1.282σ=101.2827.8\frac{10}{\sigma}=1.282 \Longleftrightarrow \sigma=\frac{10}{1.282}≈ 7.8

Bemerkung:

Φ(10σ)Φ(10σ)=Φ(10σ)  (1Φ(10σ)) =Φ(10σ)+Φ(10σ)1 \begin{aligned}\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{10}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\colorbox{#FCC}{ $ \ \left(1-\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)\right)\ \, $} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1\end{aligned}

Avatar von 28 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage